羅素悖論是由羅素發(fā)現(xiàn)的一個集合論悖論，其基本思想是：對于任意一個集合A，A要么是自身的元素，即A∈A；A要么不是自身的元素，即A?A。根據(jù)康托爾集合論的概括原則，可將所有不是自身元素的集合構(gòu)成一個集合S1，即S1={x:x?x}。

簡介

20世紀之初，數(shù)學界甚至整個科學界籠罩在一片喜悅祥和的氣氛之中，科學家們普遍認為，數(shù)學的系統(tǒng)性和嚴密性已經(jīng)達到，科學大廈已經(jīng)基本建成。例如，德國物理學家基爾霍夫（G．R．Kirchhoff）就曾經(jīng)說過：“物理學將無所作為了，至多也只能在已知規(guī)律的公式的小數(shù)點后面加上幾個數(shù)字罷了?！庇锢韺W家開爾文（L．Kelvin）在1900年回顧物理學的發(fā)展時也說：“在已經(jīng)基本建成的科學大廈中，后輩物理學家只能做一些零碎的修補工作了?！狈▏髷?shù)學家彭迦萊（Poincar6）在1900年的國際數(shù)學家大會上也公開宣稱，數(shù)學的嚴格性，現(xiàn)在看來可以說是實現(xiàn)了。然而好景不長，時隔不到兩年，科學界就發(fā)生了一件大事，這件大事就是羅素（Russell）悖論的發(fā)現(xiàn)。

例子

理發(fā)師悖論

在某個城市中有一位理發(fā)師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理發(fā)技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡(luò)繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人?？墒牵幸惶?，這位理發(fā)師從鏡子里看見自己的胡子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。

理發(fā)師悖論與羅素悖論是等價的：如果把每個人看成一個集合，這個集合的元素被定義成這個人刮臉的對象。那么，理發(fā)師宣稱，他的元素，都是城里不屬于自身的那些集合，并且城里所有不屬于自身的集合都屬于他。那么他是否屬于他自己？這樣就由理發(fā)師悖論得到了羅素悖論。反過來的變換也是成立的。

“理發(fā)師悖論”是很容易解決的，解決的辦法之一就是修正理發(fā)師的規(guī)矩，將他自己排除在規(guī)矩之外；可是嚴格的羅素悖論就不是這么容易解決的了。

書目悖論

一個圖書館編纂了一本書名詞典，它列出這個圖書館里所有不列出自己書名的書。那么它列不列出自己的書名？這個悖論與理發(fā)師悖論基本一致。

影響

十九世紀下半葉，德國數(shù)學家康托爾創(chuàng)立了著名的集合論，在集合論剛產(chǎn)生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創(chuàng)性成果就為廣大數(shù)學家所接受了，并且獲得廣泛而高度的贊譽。數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個數(shù)學大廈。因而集合論成為現(xiàn)代數(shù)學的基石?！耙磺袛?shù)學成果可建立在集合論基礎(chǔ)上”這一發(fā)現(xiàn)使數(shù)學家們?yōu)橹兆怼?/p>

1903年，一個震驚數(shù)學界的消息傳出：集合論是有漏洞的。這就是英國數(shù)學家羅素提出的著名的羅素悖論。羅素的這條悖論使集合論產(chǎn)生了危機。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當時的數(shù)學界與邏輯學界內(nèi)引起了極大震動。德國的著名邏輯學家弗雷格在他的關(guān)于集合的基礎(chǔ)理論完稿付印時，收到了羅素關(guān)于這一悖論的信。他立刻發(fā)現(xiàn)，自己忙了很久得出的一系列結(jié)果卻被這條悖論攪得一團糟。他只能在自己著作的末尾寫道：“一個科學家所碰到的最倒霉的事，莫過于是在他的工作即將完成時卻發(fā)現(xiàn)所干的工作的基礎(chǔ)崩潰了。”

公理化集合論的建立，成功排除了集合論中出現(xiàn)的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數(shù)學危機。但在另一方面，羅素悖論對數(shù)學而言有著更為深刻的影響。它使得數(shù)學基礎(chǔ)問題第一次以最迫切的需要的姿態(tài)擺到數(shù)學家面前，導致了數(shù)學家對數(shù)學基礎(chǔ)的研究。而這方面的進一步發(fā)展又極其深刻地影響了整個數(shù)學。如圍繞著數(shù)學基礎(chǔ)之爭，形成了現(xiàn)代數(shù)學史上著名的三大數(shù)學流派，而各派的工作又都促進了數(shù)學的大發(fā)展。

于是，數(shù)學的基礎(chǔ)被動搖了，這就是所謂的第三次數(shù)學危機。

羅素的悖論發(fā)表之后，接著又發(fā)現(xiàn)一系列悖論（后來歸入所謂語義悖論）：

1.理查德悖論

2.培里悖論

3.格瑞林和納爾遜悖論

悖論的解決

羅素構(gòu)造了一個集合S：S由一切不屬于自身的集合所組成。然后羅素問：s是否屬于S呢？根據(jù)排中律，一個元素或者屬于某個集合，或者不屬于某個集合。因此，對于一個給定集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果s屬于S，根據(jù)S的定義，s就不屬于S；反之，如果s不屬于S，同樣根據(jù)定義，s就屬于S。無論如何都是矛盾的。

羅素悖論提出后，數(shù)學家們紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則?！斑@些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內(nèi)容得以保存下來?！苯鉀Q這一悖論主要有兩種選擇，ZF公理系統(tǒng)和NBG公理系統(tǒng)。

1908年，策梅羅（Ernst Zermelo）在自己這一原則基礎(chǔ)上提出第一個公理化集合論體系，后來這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。這一公理系統(tǒng)在通過弗蘭克爾（Abraham Fraenkel）的改進后被稱為ZF公理系統(tǒng)。在該公理系統(tǒng)中，由于分類公理（Axiom schema of specification）：P(x)是x的一個性質(zhì)，對任意已知集合A，存在一個集合B使得對所有元素x∈B當且僅當x∈A且P(x)；因此{x∣x是一個集合}并不能在該系統(tǒng)中寫成一個集合，由于它并不是任何已知集合的子集；并且通過該公理，存在集合A={x∣x是一個集合}在ZF系統(tǒng)中能被證明是矛盾的，因此羅素悖論在該系統(tǒng)中被避免了。

除ZF系統(tǒng)外，集合論的公理系統(tǒng)還有多種，如馮·諾伊曼（von Neumann）等人提出的NBG系統(tǒng)等。在該公理系統(tǒng)中，所有包含集合的"collection"都能被稱為類(class)，凡是集合也能被稱為類，但是某些collection太大了（比如一個collection包含所有集合）以至于不能是一個集合，因此只能是個類。這同樣也避免了羅素悖論。