簡介

霍奇猜想 (Hodge Conjecture)

在非奇異復(fù)射影代數(shù)簇上, 任一霍奇類是代數(shù)閉鏈類的有理線性組合。

背景

二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了研究復(fù)雜對象的形狀的強(qiáng)有力的辦法。

基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定對象的形狀通過把維數(shù)不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導(dǎo)致一些強(qiáng)有力的工具，使數(shù)學(xué)家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進(jìn)行分類時取得巨大的進(jìn)展。不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發(fā)點(diǎn)變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件?；羝娌孪霐嘌?，對于所謂射影代數(shù)簇這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實(shí)際上是稱作代數(shù)閉鏈的幾何部件的（有理線性）組合。

問題

霍奇猜想是代數(shù)幾何的一個重大的懸而未決的問題。它是關(guān)于非奇異復(fù)代數(shù)簇的代數(shù)拓?fù)浜退啥x子簇的多項式方程所表述的幾何的關(guān)聯(lián)的猜想。它在霍奇的著述的一個結(jié)果中出現(xiàn)，他在1930至1940年間通過包含額外的結(jié)構(gòu)豐富了德拉姆上同調(diào)的表述，這種結(jié)構(gòu)出現(xiàn)于代數(shù)簇的情況（但不僅限于這種情況）。

現(xiàn)狀

黎曼假設(shè)、龐加萊猜想、霍奇猜想、貝赫和斯維訥通－戴爾猜想、納維葉―斯托克斯方程、楊―米爾理論、P問題對NP問題被稱為21世紀(jì)七大數(shù)學(xué)難題。2000年5月，美國的克萊數(shù)學(xué)促進(jìn)會為每道題懸賞百萬美元求解。目前，這一難題仍沒有被破解。

已知的情形

對于(1,1)類的霍奇猜想已經(jīng)在霍奇本人提出本猜想前的1924年由 Lefschetz證明。換句話說，霍奇猜想對于H^2成立。實(shí)際上，這是霍奇提出其猜想的動機(jī)之一。

除此以外，還成立以下定理：如果霍奇猜想對于度數(shù)p的霍奇類成立，其中p<n，n是上述射影代數(shù)簇的維數(shù)，那么對于度數(shù)為2n-p的霍奇類，霍奇猜想也成立。

霍奇的想法

蘇格蘭數(shù)學(xué)家威廉·霍奇：怎么能知道哪些類的同源性在任何給定歧管，相當(dāng)于一個代數(shù)周期？一個偉大的想法。 只是他不能證明。 我們有一個小的平滑的“空間”（在每個鄰域類似于歐幾里德空間，但在更大的規(guī)模上，“空間”是不同的），這是由一群方程描述，使得這個空間具有均勻的維度。 然后我們獲取基本的“拓?fù)洹毙畔?，并將其分解成更小的幾何部分（由?shù)字對標(biāo)記）。幾何部分內(nèi)的理性東西被稱為“Hodge循環(huán)”。 每個較小的幾何部分是稱為代數(shù)循環(huán)的幾何部分的組合。 基本上我們有一個“樁”。我們仔細(xì)看看它，看看它是由許多“切碎的木材”組成?！扒兴榈哪静摹崩锩嬗小皌wigs”（霍奇循環(huán)）?；羝娌孪霐嘌裕瑢τ诔啥训那兴榈哪静?，樹枝實(shí)際上是被稱為原子（代數(shù)循環(huán)）的幾何部分的組合。

這個叫霍奇猜想的東東，用通俗的話說，就是“再好再復(fù)雜的一座宮殿，都可以由一堆積木壘成”。用文人的話說就是: 任何一個形狀的幾何圖形，不管它有多復(fù)雜(只要你能想得出來)，它都可以用一堆簡單的幾何圖形拼成。在實(shí)際工作中，我們無法在二維平面的紙上繪畫出來一種復(fù)雜的多維圖形，霍奇猜想就是把復(fù)雜的拓?fù)鋱D形分拆成為一個個構(gòu)件，我們只要按照規(guī)則安裝就可以理解設(shè)計者的思想。霍奇猜想提出已經(jīng)快80年了，至今有了第一個例子。