起源

黎曼猜想是波恩哈德·黎曼1859年提出的，這位數(shù)學(xué)家于1826年出生在當(dāng)時(shí)屬于漢諾威王國的名叫布列斯倫茨的小鎮(zhèn)。1859年，黎曼被選為了柏林科學(xué)院的通信院士。作為對這一崇高榮譽(yù)的回報(bào)，他向柏林科學(xué)院提交了一篇題為“論小于給定數(shù)值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)”的論文。這篇只有短短八頁的論文就是黎曼猜想的“誕生地”。

黎曼那篇論文所研究的是一個(gè)數(shù)學(xué)家們長期以來就很感興趣的問題，即素?cái)?shù)的分布。素?cái)?shù)又稱質(zhì)數(shù)。質(zhì)數(shù)是像2、3、5、7、11、13、17、19那樣大于1且除了1和自身以外不能被其他正整數(shù)整除的自然數(shù)。這些數(shù)在數(shù)論研究中有著極大的重要性，因?yàn)樗写笥?的正整數(shù)都可以表示成它們的合。從某種意義上講，它們在數(shù)論中的地位類似于物理世界中用以構(gòu)筑萬物的原子。質(zhì)數(shù)的定義簡單得可以在中學(xué)甚至小學(xué)課上進(jìn)行講授，但它們的分布卻奧妙得異乎尋常，數(shù)學(xué)家們付出了極大的心力，卻迄今仍未能徹底了解。

黎曼論文的一個(gè)重大的成果，就是發(fā)現(xiàn)了質(zhì)數(shù)分布的奧秘完全蘊(yùn)藏在一個(gè)特殊的函數(shù)之中，尤其是使那個(gè)函數(shù)取值為零的一系列特殊的點(diǎn)對質(zhì)數(shù)分布的細(xì)致規(guī)律有著決定性的影響。那個(gè)函數(shù)如今被稱為黎曼ζ函數(shù)，那一系列特殊的點(diǎn)則被稱為黎曼ζ函數(shù)的非平凡零點(diǎn)。

有意思的是，黎曼那篇文章的成果雖然重大，文字卻極為簡練，甚至簡練得有些過分，因?yàn)樗撕芏唷白C明從略”的地方。而要命的是，“證明從略”原本是應(yīng)該用來省略那些顯而易見的證明的，黎曼的論文卻并非如此，他那些“證明從略”的地方有些花費(fèi)了后世數(shù)學(xué)家們幾十年的努力才得以補(bǔ)全，有些甚至直到今天仍是空白。但黎曼的論文在為數(shù)不少的“證明從略”之外，卻引人注目地包含了一個(gè)他明確承認(rèn)了自己無法證明的命題，那個(gè)命題就是黎曼猜想。黎曼猜想自1859年“誕生”以來，已過了161個(gè)春秋，在這期間，它就像一座巍峨的山峰，吸引了無數(shù)數(shù)學(xué)家前去攀登，卻誰也沒能登頂。

有人統(tǒng)計(jì)過，在當(dāng)今數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中已有超過一千條數(shù)學(xué)命題以黎曼猜想(或其推廣形式)的成立為前提。如果黎曼猜想被證明，所有那些數(shù)學(xué)命題就全都可以榮升為定理；反之，如果黎曼猜想被否證，則那些數(shù)學(xué)命題中起碼有一部分將成為陪葬。

具體內(nèi)容

黎曼觀察到，素?cái)?shù)的頻率緊密相關(guān)于一個(gè)精心構(gòu)造的所謂黎曼zeta函數(shù)ζ(s)的性態(tài)。黎曼假設(shè)斷言，方程ζ(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點(diǎn)已經(jīng)對于開始的1,500,000,000個(gè)解驗(yàn)證過。

之所以要對這一表達(dá)式進(jìn)行解析延拓， 是因?yàn)檫@一表達(dá)式只適用于復(fù)平面上 s 的實(shí)部 Re(s) > 1 的區(qū)域 （否則級數(shù)不收斂）。黎曼找到了這一表達(dá)式的解析延拓（當(dāng)然黎曼沒有使用 “解析延拓” 這樣的現(xiàn)代復(fù)變函數(shù)論術(shù)語）。運(yùn)用路徑積分，解析延拓后的黎曼ζ 函數(shù)可以表示為：

這里我們采用的是歷史文獻(xiàn)中的記號， 式中的積分實(shí)際是一個(gè)環(huán)繞正實(shí)軸進(jìn)行的圍道積分（即從 ∞ 出發(fā)， 沿實(shí)軸上方積分至原點(diǎn)附近， 環(huán)繞原點(diǎn)積分至實(shí)軸下方， 再沿實(shí)軸下方積分至 ∞ ，而且離實(shí)軸的距離及環(huán)繞原點(diǎn)的半徑均趨于 0)，按照現(xiàn)代數(shù)學(xué)記號應(yīng)記成：

從這個(gè)關(guān)系式中不難發(fā)現(xiàn)，黎曼ζ 函數(shù)在 s=-2n (n 為正整數(shù)） 取值為零 - 因?yàn)?sin(πs/2) 為零。復(fù)平面上的這種使黎曼ζ 函數(shù)取值為零的點(diǎn)被稱為黎曼ζ 函數(shù)的零點(diǎn)。因此 s=-2n （n 為正整數(shù)）是黎曼ζ 函數(shù)的零點(diǎn)。這些零點(diǎn)分布有序、 性質(zhì)簡單， 被稱為黎曼ζ 函數(shù)的平凡零點(diǎn) (trivial zero)。除了這些平凡零點(diǎn)外，黎曼ζ 函數(shù)還有許多其它零點(diǎn)， 它們的性質(zhì)遠(yuǎn)比那些平凡零點(diǎn)來得復(fù)雜， 被稱為非平凡零點(diǎn) (non-trivial zeros)。

黎曼ζ 函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)都位于復(fù)平面上 Re(s)=1/2 的直線上，也即方程ζ(s)=0的解的實(shí)部都是1/2。

在黎曼猜想的研究中， 數(shù)學(xué)家們把復(fù)平面上 Re(s)=1/2 的直線稱為 critical line（臨界線）。運(yùn)用這一術(shù)語，黎曼猜想也可以表述為：黎曼ζ 函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)都位于 critical line 上。