二次函數(shù)（quadratic function）的基本表示形式為y=ax2 bx c（a≠0）。二次函數(shù)最高次必須為二次，二次函數(shù)的圖像是一條對(duì)稱軸與y軸平行或重合于y軸的拋物線。

二次函數(shù)表達(dá)式為y=ax2 bx c（且a≠0），它的定義是一個(gè)二次多項(xiàng)式（或單項(xiàng)式）。

如果令y值等于零，則可得一個(gè)二次方程。該方程的解稱為方程的根或函數(shù)的零點(diǎn)。

基本定義

一般地，把形如（a、b、c是常數(shù)）的函數(shù)叫作二次函數(shù)，其中a稱為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)。x為自變量，y為因變量。等號(hào)右邊自變量的最高次數(shù)是2。

交點(diǎn)式為y=a（x-x1）（x-x2）（僅限于與x軸有交點(diǎn)的拋物線），

與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是A（X1，0）和B（x2,0）。

注意：“變量”不同于“未知數(shù)”，不能說“二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)”?！拔粗獢?shù)”只是一個(gè)數(shù)（具體值未知，但是只取一個(gè)值），“變量”可在一定范圍內(nèi)任意取值。在方程中適用“未知數(shù)”的概念（函數(shù)方程、微分方程中是未知函數(shù)，但不論是未知數(shù)還是未知函數(shù)，一般都表示一個(gè)數(shù)或函數(shù)——也會(huì)遇到特殊情況），但是函數(shù)中的字母表示是變量，意義已經(jīng)有所不同。從函數(shù)的定義也可看出二者的差別。

歷史

大約在公元前480年，古巴比倫人和中國(guó)人已經(jīng)使用配方法求得了二次方程的正根，但是并沒有提出通用的求解方法。公元前300年左右，歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程。

7世紀(jì)印度的婆羅摩笈多是第一位懂得使用代數(shù)方程的人，它同時(shí)容許有正負(fù)數(shù)的根。

11世紀(jì)阿拉伯的花拉子密獨(dú)立地發(fā)展了一套公式以求方程的正數(shù)解。亞伯拉罕·巴希亞（亦以拉丁文名字薩瓦索達(dá)著稱）在他的著作Liber embadorum中，首次將完整的一元二次方程解法傳入歐洲。

據(jù)說施里德哈勒是最早給出二次方程的普適解法的數(shù)學(xué)家之一。但這一點(diǎn)在他的時(shí)代存在著爭(zhēng)議。這個(gè)求解規(guī)則是：在方程的兩邊同時(shí)乘以二次項(xiàng)未知數(shù)的系數(shù)的四倍；在方程的兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)未知數(shù)的系數(shù)的平方；然后在方程的兩邊同時(shí)開二次方（引自婆什迦羅第二）

函數(shù)性質(zhì)

二次函數(shù)的圖像是拋物線，但拋物線不一定是二次函數(shù)。開口向上或者向下的拋物線才是二次函數(shù)。拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線x=-b/2a。對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸（即直線x=0）。

表達(dá)式

頂點(diǎn)式

y=a(x-h)2 k(a≠0,a、h、k為常數(shù)),頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k)，對(duì)稱軸為直線x=h，頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)y=ax2的圖像相同，當(dāng)x=h時(shí)，y最大（?。┲?k.有時(shí)題目會(huì)指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式。

例：已知二次函數(shù)y的頂點(diǎn)(1,2)和另一任意點(diǎn)(3,10)，求y的解析式。

解：設(shè)y=a(x-1)2 2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2 2。

注意：與點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的平移不同，二次函數(shù)平移后的頂點(diǎn)式中，h>0時(shí)，h越大，圖像的對(duì)稱軸離y軸越遠(yuǎn)，且在x軸正方向上，不能因h前是負(fù)號(hào)就簡(jiǎn)單地認(rèn)為是向左平移。

具體可分為下面幾種情況：

當(dāng)h>0時(shí)，y=a(x-h)2的圖像可由拋物線y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到；

當(dāng)h>0時(shí)，y=a(x h)2的圖像可由拋物線y=ax2向左平行移動(dòng)h個(gè)單位得到；

當(dāng)h>0,k>0時(shí)，將拋物線y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)2 k的圖像；

當(dāng)h>0,k>0時(shí)，將拋物線y=ax2向左平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向下移動(dòng)k個(gè)單位，就可以得到y(tǒng)=a(x h)2-k的圖像；

當(dāng)h＜0,k>0時(shí)，將拋物線y=ax2向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2 k的圖像；

當(dāng)h＜0,k＜0時(shí)，將拋物線y=ax2向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2 k的圖像。

交點(diǎn)式

[僅限于與x軸即y=0有交點(diǎn)時(shí)的拋物線，即b2-4ac≥0].

已知拋物線與x軸即y=0有交點(diǎn)A(x1, 0)和B(x2, 0)，我們可設(shè)，然后把第三點(diǎn)代入x、y中便可求出a。

函數(shù)圖像

基本圖像

在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=ax2 bx c的圖像，可以看出，在沒有特定定義域的二次函數(shù)圖像是一條永無止境的拋物線。如果所畫圖形準(zhǔn)確無誤，那么二次函數(shù)圖像將是由平移得到的。

軸對(duì)稱

二次函數(shù)圖像是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線

對(duì)稱軸與二次函數(shù)圖像唯一的交點(diǎn)為二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)P。

特別地，當(dāng)b=0時(shí)，二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸是y軸（即直線x=0）。是頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)（即x=？）。

a,b同號(hào)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；

a,b異號(hào)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)。

決定位置因素

一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。

當(dāng)a>0,與b同號(hào)時(shí)（即ab>0），對(duì)稱軸在y軸左；因?yàn)閷?duì)稱軸在左邊則對(duì)稱軸小于0，也就是-b/2a

當(dāng)a>0,與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右。因?yàn)閷?duì)稱軸在右邊則對(duì)稱軸要大于0，也就是-b/2a>0，所以b/2a要小于0，所以a、b要異號(hào)

可簡(jiǎn)單記憶為左同右異，即當(dāng)對(duì)稱軸在y軸左時(shí)，a與b同號(hào)（即a>0，b>0或a

事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：二次函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)處的該二次函數(shù)圖像切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的斜率k的值?？赏ㄟ^對(duì)二次函數(shù)求導(dǎo)得到。

決定交點(diǎn)因素

常數(shù)項(xiàng)c決定二次函數(shù)圖像與y軸交點(diǎn)。

二次函數(shù)圖像與y軸交于（0,C）點(diǎn)

注意：頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k），與y軸交于（0,C)。

與x軸交點(diǎn)數(shù)

a0;k>0或a>0;k

k=0時(shí)，二次函數(shù)圖像與x軸只有1個(gè)交點(diǎn)。

質(zhì)疑點(diǎn)：a0時(shí)，二次函數(shù)圖像與x軸無交點(diǎn)。

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在x=h處取得最小值=k，在xh范圍內(nèi)是增函數(shù)（即y隨x的變大而變大），二次函數(shù)圖像的開口向上，函數(shù)的值域是y>k

當(dāng)a=k，在xh范圍內(nèi)是減函數(shù)（即y隨x的變大而變小），二次函數(shù)圖像的開口向下，函數(shù)的值域是y

當(dāng)h=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸，這時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)

對(duì)稱關(guān)系

對(duì)于一般式：

①y=ax2 bx c與y=ax2-bx c兩圖像關(guān)于y軸對(duì)稱

②y=ax2 bx c與y=-ax2-bx-c兩圖像關(guān)于x軸對(duì)稱

③y=ax2 bx c與y=-ax2-bx c-b2/2a關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱

④y=ax2 bx c與y=-ax2 bx-c關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱。（即繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后得到的圖形）

對(duì)于頂點(diǎn)式：

①y=a(x-h)2 k與y=a(x h)2 k兩圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，即頂點(diǎn)(h, k)和(-h, k)關(guān)于y軸對(duì)稱，橫坐標(biāo)相反、縱坐標(biāo)相同。

②y=a(x-h)2 k與y=-a(x-h)2-k兩圖像關(guān)于x軸對(duì)稱，即頂點(diǎn)(h, k)和(h, -k)關(guān)于x軸對(duì)稱，橫坐標(biāo)相同、縱坐標(biāo)相反。

③y=a(x-h)2 k與y=-a(x-h)2 k關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱，即頂點(diǎn)(h, k)和(h, k)相同，開口方向相反。

④y=a(x-h)2 k與y=-a(x h)2-k關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即頂點(diǎn)(h, k)和(-h, -k)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都相反。

（其實(shí)①③④就是對(duì)f(x)來說f(-x),-f(x),-f(-x)的情況）

五點(diǎn)法

五點(diǎn)草圖法又被叫做五點(diǎn)作圖法是二次函數(shù)中一種常用的作圖方法。

注明：雖說是草圖，但畫出來絕不是草圖。

五點(diǎn)草圖法中的五個(gè)點(diǎn)都是極其重要的五個(gè)點(diǎn)，分別為：頂點(diǎn)、與x軸的交點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)及其關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)。

Ps.正規(guī)考試也是用這種方法初步確定圖像。但是正規(guī)考試的要求在于要列表格，取x、y，再確定總體圖像。五點(diǎn)法是可以用在正規(guī)考試中的。

方程關(guān)系

函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。

1．二次函數(shù)y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2 k，y=ax2 bx c(各式中，a≠0)的圖像形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸如下表：

當(dāng)h>0時(shí)，y=a(x-h)^2的圖像可由拋物線y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到，

當(dāng)h

當(dāng)h>0,k>0時(shí)，將拋物線y=ax^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)2 k（h>0,k>0）的圖像

當(dāng)h>0,k0,k

當(dāng)h0時(shí)，將拋物線y=ax^2向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位，就可得到y(tǒng)=a(x h)2 k（h0）的圖像

當(dāng)h

在向上或向下。向左或向右平移拋物線時(shí)，可以簡(jiǎn)記為“上加下減，左加右減”。

因此，研究拋物線 y=ax2 bx c(a≠0)的圖像，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)2 k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了。這給畫圖像提供了方便。

2．拋物線y=ax2 bx c(a≠0)的圖像：當(dāng)a>0時(shí)，開口向上，當(dāng)a

3．拋物線y=ax2 bx c(a≠0)，若a>0，當(dāng)x≤-b/2a時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)x≥-b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大。若a

4．拋物線y=ax2 bx c的圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：

學(xué)習(xí)方法

知識(shí)要點(diǎn)

1.要理解函數(shù)的意義。

2.要記住函數(shù)的幾個(gè)表達(dá)形式，注意區(qū)分。

3.一般式，頂點(diǎn)式，交點(diǎn)式，等，區(qū)分對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，圖像，y隨著x的增大而減?。ㄔ龃螅ㄔ鰷p值）等的差異性。

4.聯(lián)系實(shí)際對(duì)函數(shù)圖像的理解。

5.計(jì)算時(shí)，看圖像時(shí)切記取值范圍。

6.隨圖像理解數(shù)字的變化而變化。

二次函數(shù)知識(shí)很容易與其他知識(shí)綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識(shí)為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題，往往以大題形式出現(xiàn)。

誤區(qū)提醒

（1）對(duì)二次函數(shù)概念理解有誤，漏掉二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一限制條件；

（2）對(duì)二次函數(shù)圖像和性質(zhì)存在思維誤區(qū)；

（3）忽略二次函數(shù)自變量取值范圍；

（4）平移拋物線時(shí)，弄反方向。

定義與表達(dá)式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：

（a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a

則稱y為x的二次函數(shù)。

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

三種表達(dá)式

一般式：y=ax2 bx c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）

頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2 k[拋物線的頂點(diǎn)P(h, k)]

交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A（x1，0）和B（x2，0）的拋物線]

二次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣

二次函數(shù)拋物線，圖象對(duì)稱是關(guān)鍵；

開口、頂點(diǎn)和交點(diǎn)，它們確定圖象限；

開口、大小由a斷，c與Y軸來相見，b的符號(hào)較特別，符號(hào)與a相關(guān)聯(lián)；

頂點(diǎn)位置先找見，Y軸作為參考線，左同右異中為0，牢記心中莫混亂；

頂點(diǎn)坐標(biāo)最重要，一般式配方它就現(xiàn)，橫標(biāo)即為對(duì)稱軸，縱標(biāo)函數(shù)最值見。

若求對(duì)稱軸位置，符號(hào)反，一般、頂點(diǎn)、交點(diǎn)式，不同表達(dá)能互換。