通過(guò)化簡(jiǎn)后，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程（quadratic equation with one unknown）。

簡(jiǎn)介

一元二次方程的一般形式是，其中是二次項(xiàng)，是二次項(xiàng)系數(shù)；是一次項(xiàng)，是一次項(xiàng)系數(shù)；是常數(shù)項(xiàng)。

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根（root）。

發(fā)展簡(jiǎn)史

通過(guò)分析古巴比倫泥板上的代數(shù)問(wèn)題，可以發(fā)現(xiàn)，在公元前2250年古巴比倫人就已經(jīng)掌握了與求解一元二次方程相關(guān)的代數(shù)學(xué)知識(shí)，并將之應(yīng)用于解決有關(guān)矩形面積和邊的問(wèn)題。相關(guān)的算法可以追溯到烏爾第三王朝。

在發(fā)現(xiàn)于卡呼恩（Kahun）的兩份古埃及紙草書(shū)上也出現(xiàn)了用試位法求解二次方程的問(wèn)題。

公元前300年前后，活躍于古希臘文化中心亞歷山大的數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid）所著的《幾何原本》（Euclid’s Elements）中卷II命題5、命題6以及卷VI命題12、命題13的內(nèi)容相當(dāng)于二次方程的幾何解。

繼歐幾里得之后，亞歷山大數(shù)學(xué)發(fā)展第二次高潮“白銀時(shí)代”的代表人物丟番圖（Diophantus）發(fā)表了《算術(shù)》（Arithmetica）。該書(shū)出現(xiàn)了若干二次方程或可歸結(jié)為二次方程的問(wèn)題。這足以說(shuō)明丟番圖熟練掌握了二次方程的求根公式，但仍限于正有理根。不過(guò)他始終只取一個(gè)根，如果有兩個(gè)正根，他就取較大的一個(gè)。

中國(guó)古代數(shù)學(xué)很早就涉及二次方程問(wèn)題。在中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作《九章算術(shù)》中就已涉及相關(guān)問(wèn)題。因此可以肯定，二次方程及其解法自東漢以來(lái)就已為人們所熟知了。

公元628年，印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多（Brahmagupta，公元598-665年以后卒）完成了《婆羅摩修正體系》（Brahma-sphuta-siddhanta），其中有兩章專論數(shù)學(xué)。

但婆羅摩笈多當(dāng)時(shí)是用語(yǔ)言來(lái)表述的，沒(méi)有使用符號(hào)。

前面敘述的這些數(shù)學(xué)成就大多是后來(lái)的數(shù)學(xué)史家們考證的成果，而近現(xiàn)代數(shù)學(xué)中方程思想的源頭一般明確追溯到9世紀(jì)初的阿拉伯世界。

公元5-11世紀(jì)，是歐洲歷史上的黑暗時(shí)期。天主教會(huì)成為歐洲社會(huì)的絕對(duì)勢(shì)力。封建宗教統(tǒng)治，使一般人篤信天國(guó)，追求來(lái)世，從而淡漠世俗生活，對(duì)自然不感興趣。教會(huì)宣揚(yáng)天啟真理，并擁有解釋這種真理的絕對(duì)權(quán)威，導(dǎo)致了理性的壓抑，歐洲文明在整個(gè)中世紀(jì)處于凝滯狀態(tài)。由于羅馬人偏重于實(shí)用而沒(méi)有發(fā)展抽象數(shù)學(xué)，終使黑暗時(shí)代的歐洲在數(shù)學(xué)領(lǐng)域毫無(wú)成就。在此期間，阿拉伯人在保存和傳播希臘、印度甚至中國(guó)的文化，最終為近代歐洲的文藝復(fù)興準(zhǔn)備學(xué)術(shù)前提方面作出了巨大貢獻(xiàn)。

在推翻倭馬亞王朝之后，阿拔斯王朝將首都遷往巴格達(dá)，其第二任哈里發(fā)曼蘇爾（al-Mansur，公元754-775年在位）仿效波斯舊制，建立起了完整的行政體制。在最初的100年時(shí)間里，特別是第五任哈里發(fā)哈倫·拉希德（Harunal-Rashid，公元786-809年在位）和第七任哈里發(fā)馬蒙（al-Ma'mūn，公元813-833年在位）執(zhí)政時(shí)期，是阿拉伯帝國(guó)極盛時(shí)期，同時(shí)阿拉伯帝國(guó)的科學(xué)文化事業(yè)在廣泛吸收古希臘、印度等文明成果的基礎(chǔ)上進(jìn)入了繁榮昌盛階段。

阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的突出成就首先表現(xiàn)在代數(shù)學(xué)方面。中世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家對(duì)世界影響最大的可說(shuō)是花拉子密（al-Khwārizmī，約公元783-850年）。約公元820年，花拉子密的著作《還原與對(duì)消之書(shū)》（al-Kitāb al-jabr wal-muqābala，簡(jiǎn)稱《代數(shù)學(xué)》）問(wèn)世。在該書(shū)中，他將“還原（al-jabr）”定義為這樣一種運(yùn)算，即將方程一側(cè)的一個(gè)減去的量移到方程的另一側(cè)變?yōu)榧由系牧?；單詞“wa”是“和”的意思；“al-muqābala”的意思是將方程兩側(cè)相等的同類正項(xiàng)消去，此處譯為“對(duì)消”。后來(lái)的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家通常用“還原（al-jabr）”一詞來(lái)代替整個(gè)還原與對(duì)消算法，并逐漸用來(lái)表示一個(gè)數(shù)學(xué)分支，最終其演變?yōu)楫?dāng)代的“代數(shù)（algebra）”一詞。

其中，這樣便窮盡了有正根的一元二次方程的所有可能，同時(shí)花拉子密給出了與當(dāng)代相同的公式解?！洞鷶?shù)學(xué)》全書(shū)沒(méi)有符號(hào)，但有明確的方程思想，其中“還原與對(duì)消”方法作為代數(shù)學(xué)的基本特征被長(zhǎng)期保留下來(lái)，并基本確立了后世阿拉伯代數(shù)學(xué)中方程化簡(jiǎn)（多項(xiàng)式理論）和方程求解這兩條主要發(fā)展脈絡(luò)。正因如此，著名數(shù)學(xué)史家鮑耶（C.B.Boyer，1906-1976年）將花拉子密稱為“代數(shù)學(xué)之父”。

花拉子密的工作很快被阿布·卡米爾（Abū Kāmil，約公元850-930年）等阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家繼承并發(fā)展。雖然花拉子密的《代數(shù)學(xué)》在12世紀(jì)初已被譯成拉丁文并開(kāi)始在伊比利亞半島傳播，但對(duì)花拉子密代數(shù)思想在歐洲傳播起到關(guān)鍵作用的是意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（Fibonacci，約1170-1250）。斐波那契在其著作《計(jì)算之書(shū)》（Liber Abaci，1202）中系統(tǒng)介紹了印度－阿拉伯?dāng)?shù)碼，二次和三次方程以及不定方程理論。斐波那契參閱了卡米爾的代數(shù)學(xué)著作，并指出與一元二次方程有關(guān)的理論源自花拉子密?！队?jì)算之書(shū)》對(duì)改變歐洲數(shù)學(xué)的面貌產(chǎn)生了很大影響，并最終引導(dǎo)了16世意大利代數(shù)方程求解方向的突破。

隨著歐洲人在代數(shù)學(xué)領(lǐng)域的深入研究，包括一元二次方程在內(nèi)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)一步向前發(fā)展。法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)（F.Vieta，1540-1603）給出了代數(shù)方程的近似解法與代數(shù)方程的多項(xiàng)式分解因式解法，并將數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)化。1637年，笛卡兒（René Descartes，1596-1650）完成了對(duì)韋達(dá)代數(shù)符號(hào)的改進(jìn)并首次應(yīng)用待定系數(shù)法將四次方程分解成兩個(gè)二次方程求解。