一元一次方程指只含有一個未知數(shù)（元），這樣的整式方程叫做一元一次方程。一元一次方程只有一個根。一元一次方程可以解決絕大多數(shù)的工程問題、行程問題、分配問題、盈虧問題、積分表問題、電話計費問題、數(shù)字問題。

一元一次方程最早見于約公元前1600年的古埃及時期。公元820年左右，數(shù)學家花拉子米在《對消與還原》一書中提出了“合并同類項”、“移項”的一元一次方程思想。16世紀，數(shù)學家韋達創(chuàng)立符號代數(shù)之后，提出了方程的移項與同除命題。1859年，數(shù)學家李善蘭正式將這類等式譯為一元一次方程。

基本概述

只含有一個未知數(shù)（即“元”），并且未知數(shù)的最高次數(shù)為1（即“次”）的整式方程（左右兩邊的式子要用“=”連接）叫做一元一次方程（英文名：linear equation with one unknown）。一元一次方程的標準形式（即所有一元一次方程經(jīng)整理都能得到的形式）是ax b=0（a，b為常數(shù)，x為未知數(shù)，且a≠0）。求根公式：x=-b/a。

一元一次方程的特點：

（1）為一個等式

（2）該方程為整式方程。

（3）該方程有且只含有一個未知數(shù)。

（4）該方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是1。（系數(shù)化為1）

（5）未知數(shù)系數(shù)不為0.

滿足以上五點的方程，就是一元一次方程。

要判斷一個方程是否為一元一次方程，先看它是否為整式方程。若是，再對它進行整理。如果能整理為 ax b=0（a≠0，a是ax的系數(shù)，a與b均為常數(shù)）的形式，則這個方程就為一元一次方程。里面要有等號，且分母里不含未知數(shù)。

  變形公式

ax=b（a，b為常數(shù)，x為未知數(shù)，且a≠0）

表示方法

（1）一般形式：ax b=0（a，b為常數(shù)，a≠0）

（2）最簡形式：ax=b（a，b為常數(shù)，a≠0）

補充

（1）等式的性質(zhì)1：在等式左右兩邊同時加或減同一個數(shù)，等式成立

式子表示：a=b→a±c=b±c

（2）等式的性質(zhì)2：等式兩邊同時乘或除不為0的數(shù)，等式成立

式子表示   a=b→ac=bc

a=b→a/c=b/c（c≠0）

方程定義

含有未知數(shù)的等式叫做方程，而且只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)不為0;并且未知數(shù)的最高次數(shù)為1的整式方程叫做一元一次方程。

標準形式

一元一次方程的標準形式，即所有一元一次方程經(jīng)整理都能得到

2a＋3＝17

2a＝17﹣3

2a＝14

a＝14÷2

a＝7

方程特點

（1）該方程為整式方程。

（2）該方程有且只含有一個未知數(shù)。

（3）該方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是1。（系數(shù)化為1）

（4）未知數(shù)系數(shù)不能為0。

（5）該方程為等式。

判斷方法

要判斷一個方程是否為一元一次方程，①先看它是否為整式方程。若是，②。如果能整理為ax b=0（a≠0）的形式，則這個方程就為一元一次方程。里面要有等號，且分母里不含未知數(shù)。

變形公式

ax=b（a，b為常數(shù)，x為未知數(shù)，且a≠0）

求根公式通常解法

去分母→去括號→移項→合并同類項→系數(shù)化為1。

兩種類型

（1）總量等于各分量之和。將未知數(shù)放在等號左邊，常數(shù)放在右邊。如：x 2x 3x=6。

（2）等式兩邊都含未知數(shù)。如：300x 400=400x，40x 20=60x。

方程舉例

2a=8a-4

4b=-2

x=2

都是一元一次方程。

方程起源

“方程”一詞來源于中國古算術書《九章算術》。在這本著作中，已經(jīng)列出了一元一次方程。法國數(shù)學家笛卡爾把未知數(shù)和常數(shù)通過代數(shù)運算所組成的方程稱為代數(shù)方程。在19世紀以前，方程一直是代數(shù)的核心內(nèi)容。

主要用途

一元一次方程通?？捎糜谧鰬妙}，如工程問題、行程問題、分配問題、盈虧問題、球賽積分表問題、電話（水表、電表）計費問題、數(shù)字問題等。

解決步驟

一、去分母

在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)（不含分母的項也要乘）；

依據(jù)：等式的性質(zhì)2

二、去括號

一般先去小括號，再去中括號，最后去大括號，可根據(jù)乘法分配律（記住如括號外有減號或除號的話一定要變號）

依據(jù)：乘法分配律（注意沒有除法分配律）

三、移項

把方程中含有未知數(shù)的項都移到方程的一邊（一般是含有未知數(shù)的項移到方程左邊，而把常數(shù)項移到右邊）

依據(jù)：等式的性質(zhì)1

四、合并同類項

把方程化成ax=b（a≠0）的形式；

依據(jù)：乘法分配律（逆用乘法分配律）

五、系數(shù)化為1

在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x=b/a。

依據(jù)：等式的性質(zhì)2

列方程解應用題的步驟

(1)審題，弄清題意．即全面分析已知數(shù)與已知數(shù)、已知數(shù)與未知數(shù)的關系．特別要把牽涉到的一些概念術語弄清，如同向，相向，增加到，增加了等.

(2)引進未知數(shù)．用x表示所求的數(shù)量或有關的未知量．在小學階段所遇到的應用題并不十分復雜，一般只需要直接把要求的數(shù)量設為未知數(shù)．

(3)找出應用題中數(shù)量間的相等關系，列出方程．

(4)解方程，找出未知數(shù)的值．

(5)檢驗并寫出答案．檢驗時，一是要將所求得的未知數(shù)的值代入原方程，檢驗方程的解是否正確；二是檢查所求得的未知數(shù)的值是否符合題意，不符合題意的要舍去，保留符合題意的解．

解方程口訣

去分母，去括號，移項時，要變號，同類項，合并好，再把系數(shù)來除掉。

同解方程

如果兩個方程的解相同，那么這兩個方程叫做同解方程。

同解原理

（1）方程的兩邊都加或減同一個數(shù)或同一個等式所得的方程與原方程是同解方程。

（2）方程的兩邊同乘或同除同一個不為0的數(shù)所得的方程與原方程是同解方程。

求根公式：

由于一元一次方程是基本方程，故教科書上的解法只有上述的方法。

但對于標準形式下的一元一次方程：ax b=0(a≠0)。

可得出求根公式。

函數(shù)解法

由于一元一次函數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為ax b=0（a，b為常量，a≠0）的形式，所以解一元一次方程就可以轉(zhuǎn)化為：

當某一個函數(shù)值為0時，求相應的自變量的值。從圖像上看，這就相當于求直線y=kx b（k，b為常量，k≠0）與x軸交點的橫坐標的值。

本段解法舉例

題目：已知ax=b是關于x的方程（a、b為常數(shù)），求x的值。

分析：要牢牢抓住一元一次方程的定義，進行分類討論。

解：當a≠0時。

當a=0，b=0時，方程有無數(shù)個解（注意：這種情況不屬于一元一次方程，而屬于恒等方程）

當a=0，b≠0時，方程無解（注意：此種情況也不屬于一元一次方程）

補充說明

（1）依據(jù)：等式的性質(zhì)1

（2）把未知數(shù)相同且其次數(shù)也相同的項合并成一項；常數(shù)計算后合并成一項

（3）合并時次數(shù)不變，只是系數(shù)相加減。

移項

（1）依據(jù)：等式的性質(zhì)2

（2）含有未知數(shù)的項變號后都移到方程左邊，把不含未知數(shù)的項移到右邊。

（3）把方程一邊某項移到另一邊時，一定要變號（如：移項時將 改為-，×改為÷）。

等式性質(zhì)

等式的性質(zhì)一：等式兩邊同時加一個數(shù)或減去同一個數(shù)或同一個整式，等式仍然成立。

等式的性質(zhì)二：等式兩邊同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），等式仍然成立。

等式的性質(zhì)三：等式兩邊同時乘方（或開方），等式仍然成立。

解方程都是依據(jù)等式的這三個性的。

解的定義：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。