集合，簡(jiǎn)稱集，是數(shù)學(xué)中一個(gè)基本概念，也是集合論的主要研究對(duì)象。集合論的基本理論創(chuàng)立于19世紀(jì)，關(guān)于集合的最簡(jiǎn)單的說法就是在樸素集合論（最原始的集合論）中的定義，即集合是“確定的一堆東西”，集合里的“東西”則稱為元素。現(xiàn)代的集合一般被定義為：由一個(gè)或多個(gè)確定的元素所構(gòu)成的整體。

定義

簡(jiǎn)介

集合論可以看成是邏輯的幾何化。集合是最簡(jiǎn)單的空間。

概念

集合是指具有某種特定性質(zhì)的具體的或抽象的對(duì)象匯總而成的集體。其中，構(gòu)成集合的這些對(duì)象則稱為該集合的元素。

例如，全中國人的集合，它的元素就是每一個(gè)中國人。通常用大寫字母如A,B,S,T,...表示集合，而用小寫字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。若x是集合S的元素，則稱x屬于S，記為x∈S。若y不是集合S的元素，則稱y不屬于S，記為y?S。

集合的類型

有限集和無限集

集合中元素的數(shù)目稱為集合的基數(shù)，集合A的基數(shù)記作card(A)。當(dāng)其為有限大時(shí)，集合A稱為有限集，反之則為無限集。一般的，把含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集，含無限個(gè)元素的集合叫做無限集。

空集

有一類特殊的集合，它不包含任何元素，如{x|x∈R x2 1=0}，稱之為空集，記為??？占莻€(gè)特殊的集合，它有2個(gè)特點(diǎn)：

1.空集?是任意一個(gè)非空集合的真子集。

2.空集是任何一個(gè)集合的子集。

集合中元素的特性

確定性

給定一個(gè)集合，任給一個(gè)元素，該元素或者屬于或者不屬于該集合，二者必居其一，不允許有模棱兩可的情況出現(xiàn)。

互異性

一個(gè)集合中，任何兩個(gè)元素都認(rèn)為是不相同的，即每個(gè)元素只能出現(xiàn)一次。有時(shí)需要對(duì)同一元素出現(xiàn)多次的情形進(jìn)行刻畫，可以使用多重集，其中的元素允許出現(xiàn)多次。

無序性

一個(gè)集合中，每個(gè)元素的地位都是相同的，元素之間是無序的。集合上可以定義序關(guān)系，定義了序關(guān)系后，元素之間就可以按照序關(guān)系排序。但就集合本身的特性而言，元素之間沒有必然的序。

元素與集合的關(guān)系

屬于

如果元素a在集合A中，就說a屬于A，記作a∈A。

不屬于

如果元素a不在集合A中，就說a不屬于A，記作a?A。

集合的表示

列舉法

列舉法就是將集合的元素逐一列舉出來的方式。例如，光學(xué)中的三原色可以用集合{紅，綠，藍(lán)}表示；由四個(gè)字母a,b,c,d組成的集合A可用A={a,b,c,d}表示，如此等等。

列舉法還包括盡管集合的元素?zé)o法一一列舉，但可以將它們的變化規(guī)律表示出來的情況。如正整數(shù)集和整數(shù)集可以分別表示為和。

描述法

描述法的形式為{代表元素|滿足的性質(zhì)}。

設(shè)集合S是由具有某種性質(zhì)P的元素全體所構(gòu)成的，則可以采用描述集合中元素公共屬性的方法來表示集合：S={x|P(x)}。例如，由2的平方根組成的集合B可表示為B={x|x2=2}。而有理數(shù)集和正實(shí)數(shù)集則可以分別表示為和。

圖像法

圖像法，又稱韋恩圖法、韋氏圖法，是一種利用二維平面上的點(diǎn)集表示集合的方法。一般用平面上的矩形或圓形表示一個(gè)集合，是集合的一種直觀的圖形表示法，如圖2所示。

區(qū)間法

用數(shù)軸、無窮大、無窮小、開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間表示。

數(shù)學(xué)分析中，最常遇到的實(shí)數(shù)集的子集是區(qū)間。

設(shè)a，b(a<b)是兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)，則滿足不等式a<x<b的所有實(shí)數(shù)x的集合稱為以a，b為端點(diǎn)的開區(qū)間；滿足不等式的所有實(shí)數(shù)的集合稱為以a，b為端點(diǎn)的閉區(qū)間；滿足不等式或的所有實(shí)數(shù)x的集合稱為以a，b為端點(diǎn)的半開半閉區(qū)間，分別記為及 。除此之外，還有下述幾類無限區(qū)間：

符號(hào)法

有些集合可以用一些特殊符號(hào)表示，舉例如下：

N：非負(fù)整數(shù)集合或自然數(shù)集合{0,1,2,3,…}

N*或N ：正整數(shù)集合{1,2,3,…}

Z：整數(shù)集合{…,-1,0,1,…}

Q：有理數(shù)集合

Q ：正有理數(shù)集合

Q-：負(fù)有理數(shù)集合

R：實(shí)數(shù)集合（包括有理數(shù)和無理數(shù)）

R ：正實(shí)數(shù)集合

R-：負(fù)實(shí)數(shù)集合

C：復(fù)數(shù)集合

?：空集（不含有任何元素的集合）

集合間的基本關(guān)系

子集與真子集

設(shè)S，T是兩個(gè)集合，如果S的所有元素都屬于T，即則稱S是T的子集，記為（讀作S含于T）。顯然，對(duì)任何集合S，都有 。其中，符號(hào)讀作包含于，表示該符號(hào)左邊的集合中的元素全部是該符號(hào)右邊集合的元素。如果S是T的一個(gè)子集，但在T中存在一個(gè)元素x不屬于S，則稱S是T的一個(gè)真子集。

交并集

交集定義：由屬于A且屬于B的相同元素組成的集合，記作A∩B（或B∩A），讀作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}，。注意交集越交越少。若A包含B，則A∩B=B，A∪B=A。

并集定義：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，記作A∪B（或B∪A），讀作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}，如圖1所示。注意并集越并越多，這與交集的情況正相反。

相等集合

如果集合A是集合B的子集（），且集合B是集合A的子集（），此時(shí)，集合A與集合B中的元素相同，因此集合A與集合B相等。

補(bǔ)集

補(bǔ)集又可分為相對(duì)補(bǔ)集和絕對(duì)補(bǔ)集。

相對(duì)補(bǔ)集定義：由屬于A而不屬于B的元素組成的集合，稱為B關(guān)于A的相對(duì)補(bǔ)集，記作A-B或AB，即A-B={x|x∈A，且x?B}。

絕對(duì)補(bǔ)集定義：A關(guān)于全集合U的相對(duì)補(bǔ)集稱作A的絕對(duì)補(bǔ)集，記作A'或?u（A）或~A。有U'=Φ；Φ'=U。

冪集

設(shè)有集合A，由集合A所有子集組成的集合，稱為集合A的冪集。對(duì)于冪集有定理如下：有限集A的冪集的基數(shù)等于2的有限集A的基數(shù)次冪。

模糊集

用來表達(dá)模糊性概念的集合，又稱模糊集、模糊子集。普通的集合是指具有某種屬性的對(duì)象的全體。這種屬性所表達(dá)的概念應(yīng)該是清晰的，界限分明的。因此每個(gè)對(duì)象對(duì)于集合的隸屬關(guān)系也是明確的，非此即彼。但在人們的思維中還有著許多模糊的概念，例如年輕、很大、暖和、傍晚等，這些概念所描述的對(duì)象屬性不能簡(jiǎn)單地用“是”或“否”來回答，而模糊集合就是指具有某個(gè)模糊概念所描述的屬性的對(duì)象的全體。

由于概念本身不是清晰的、界限分明的，因而對(duì)象對(duì)集合的隸屬關(guān)系也不是明確的、非此即彼的。這一概念是美國加利福尼亞大學(xué)控制論專家L.A.扎德于1965年首先提出的。模糊集合這一概念的出現(xiàn)使得數(shù)學(xué)的思維和方法可以用于處理模糊性現(xiàn)象，從而構(gòu)成了模糊集合論（中國通常稱為模糊性數(shù)學(xué)）的基礎(chǔ)。

運(yùn)算定律

交換律：A∩B=B∩A；A∪B=B∪A

結(jié)合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；A∩(B∩C)=(A∩B)∩C

分配對(duì)偶律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

對(duì)偶律：(A∪B)^C=A^C∩B^C；(A∩B)^C=A^C∪B^C

同一律：A∪?=A；A∩U=A

求補(bǔ)律：A∪A'=U；A∩A'=?

對(duì)合律：A''=A

等冪律：A∪A=A；A∩A=A

零一律：A∪U=U；A∩?=?

吸收律：A∪(A∩B)=A；A∩(A∪B)=A

反演律（德·摩根律）：(A∪B)'=A'∩B'；(A∩B)'=A'∪B'。文字表述：1.集合A與集合B的并集的補(bǔ)集等于集合A的補(bǔ)集與集合B的補(bǔ)集的交集;2.集合A與集合B的交集的補(bǔ)集等于集合A的補(bǔ)集與集合B的補(bǔ)集的并集。

容斥原理（特殊情況）：

card(A∪B)=card(A) card(B)-card(A∩B)

card(A∪B∪C)=card(A) card(B) card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A) card(A∩B∩C)。

地位

集合在數(shù)學(xué)領(lǐng)域具有無可比擬的特殊重要性。集合論的基礎(chǔ)是由德國數(shù)學(xué)家康托爾在19世紀(jì)70年代奠定的，經(jīng)過一大批科學(xué)家半個(gè)世紀(jì)的努力，到20世紀(jì)20年代已確立了其在現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論體系中的基礎(chǔ)地位，可以說，現(xiàn)代數(shù)學(xué)各個(gè)分支的幾乎所有成果都構(gòu)筑在嚴(yán)格的集合理論上。