初等函數(shù)是由冪函數(shù)（power function）、指數(shù)函數(shù)（exponential function）、對數(shù)函數(shù)（logarithmic function）、三角函數(shù)（trigonometric function）、反三角函數(shù)（inverse trigonometric function）與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運算（加、減、乘、除、有理數(shù)次乘方、有理數(shù)次開方）及有限次函數(shù)復合所產(chǎn)生，并且能用一個解析式表示的函數(shù)。

函數(shù)概念

初等函數(shù)

初等函數(shù)是由冪函數(shù)（power function）、指數(shù)函數(shù)（exponential function）、對數(shù)函數(shù)（logarithmic function）、三角函數(shù)（trigonometric function）、反三角函數(shù)（inverse trigonometric function）與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運算（加、減、乘、除、有理數(shù)次乘方、有理數(shù)次開方）及有限次函數(shù)復合所產(chǎn)生，并且能用一個解析式表示的函數(shù)。

它是最常用的一類函數(shù)，包括常函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)（以上是基本初等函數(shù)），以及由這些函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或函數(shù)的復合而得的所有函數(shù)。即基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算或有限次的函數(shù)復合所構(gòu)成并可以用一個解析式表出的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。

還有一系列雙曲函數(shù)也是初等函數(shù)，如sinh的名稱是雙曲正弦或超正弦，cosh是雙曲余弦或超余弦，tanh是雙曲正切，coth是雙曲余切，sech是雙曲正割，csch是雙曲余割。初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)一定連續(xù)。

一個初等函數(shù)，除了可以用初等解析式表示以外，往往還有其他表示形式。例如，三角函數(shù)y=sinx可以用無窮級數(shù)表為y=x-x3/3! x5/5!-…初等函數(shù)是最先被研究的一類函數(shù)，它與人類的生產(chǎn)和生活密切相關(guān)，并且應(yīng)用廣泛。為了方便，人們編制了各種函數(shù)表，如平方表、開方表、對數(shù)表、三角函數(shù)表等。

有理函數(shù)

實系數(shù)多項式稱為整有理函數(shù)。其中最簡單的是線性函數(shù)y=α0 α1x，它的圖象是過y軸上y=α0點的斜率為α1的直線。二次整有理函數(shù)y=α0 α1x α2x2的圖象為拋物線。

兩個整有理函數(shù)之比為分式有理函數(shù)。分式有理函數(shù)其中最簡單的是反比例函數(shù)，其圖象為雙曲線。整有理函數(shù)和分式有理函數(shù)統(tǒng)稱有理函數(shù)。有理函數(shù)起源于代數(shù)學。

兩個復系數(shù)的多項式之比為有理函數(shù)，它實現(xiàn)擴充的復平面到自身的解析映射。分式線性函數(shù)是一個特殊的有理函數(shù)，它在復分析中有重要的意義。另一個特殊情形是冪函數(shù)w=zn，n是自然數(shù)，它在全平面是解析的。因此當n≥2時，它在全平面除z=0以外到處實現(xiàn)共形映射（保角映射）。它將圓周|z|=r變?yōu)閳A周|w|=rn，將射線argz=θ變?yōu)樯渚€argw=nθ。任何一個區(qū)域,只要該區(qū)域中任兩點的輻角差小于2π/n，它就是w=zn的單葉性區(qū)域。冪函數(shù)w=zn的反函數(shù)為根式函數(shù)，它有n個值(k=0，1，…，n-1)，稱為它的分支。它們在任何區(qū)域θ1z<θ1 2π中都單值解析。

代數(shù)函數(shù)

求有理函數(shù)的反函數(shù)則可產(chǎn)生代數(shù)函數(shù)。如y=xn的反函數(shù)為x=yn。

超越函數(shù)

超越函數(shù)指變量之間的關(guān)系不能用有限次加、減、乘、除、乘方、開方運算表示的函數(shù)。如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)等就屬于超越函數(shù)。

常用函數(shù)

常函數(shù)

對定義域中的一切x對應(yīng)的函數(shù)值都取某個固定常數(shù)的函數(shù)。

三角函數(shù)

三角函數(shù)是起源于幾何學的最簡單的超越函數(shù)。

初等三角函數(shù)包括正弦函數(shù)y=sinx、余弦函數(shù)y=cosx、正切函數(shù)y=tanx、余切函數(shù)y=cotx、正割函數(shù)y=secx和余割函數(shù)y=cscx。高等分析學中用弧度制計量角度，即以單位圓周上的弧段量度相應(yīng)的圓心角。

指數(shù)函數(shù)

形如的函數(shù)，式中a為不等于1的正常數(shù)。

對數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，式中a為不等于1的正常數(shù)，定義域是零到正無窮的開區(qū)間。

雙曲函數(shù)

由指數(shù)函數(shù)經(jīng)有理運算可導出雙曲函數(shù)。其性質(zhì)與三角函數(shù)很相似。sinhx、coshx分別稱為雙曲正弦和雙曲余弦。像三角函數(shù)一樣，由它們導出的雙曲正切tanhx=sinhx/coshx和雙曲余切cothx=coshx/sinhx等都稱為雙曲函數(shù)。

它們有如下的幾何解釋，即雙曲線x2-y2=1(x>0)上取一點M，又令O為原點，N=(1,0)，將ON，OM和雙曲線上的弧所圍面積記為θ/2，點M的坐標視為θ的函數(shù)，并記為coshθ和sinhθ，即有表示式cosh2θ-sinh2θ=1。

冪函數(shù)

形如的函數(shù)，式中a為實常數(shù)。

一般地，形如（a為常數(shù)）的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。例如函數(shù)y=x、y=x2、y=1/x（注：y=1/x=x-1）等都是冪函數(shù)。

數(shù)域推廣

復變?nèi)呛瘮?shù)

例如將y=sinx和y=cosx中變量x換為復變量z，則得到復變?nèi)呛瘮?shù)w=sinz和w=cosz，它們是整函數(shù)。tanz=sinz/cosz，cotz=cosz/sinz等是z的亞純函數(shù)。它們具有實三角函數(shù)的很多類似性質(zhì)：周期性、微商性質(zhì)、三角恒等式等。但|sinz|≤1，|cosz|≤1不是對任何z都成立。三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)密切聯(lián)系，因此應(yīng)用時很方便。sinz的單葉性區(qū)域?qū)k單葉并共形地映為全平面上除去實軸上線段[-1，1]和負虛軸后得到的區(qū)域；它將Rk單葉并共形地映為全平面除去實軸上兩條射線( ,-1]和[1, )后得到的區(qū)域。類似地可以指出cosz的單葉性區(qū)域。

復變指數(shù)函數(shù)

在指數(shù)函數(shù)式w=ex中將x換為復變量z，便得到復變指數(shù)函數(shù)w=ez。復變指數(shù)函數(shù)有類似于實指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：ez是一整函數(shù)且對任何復數(shù)z，ez≠0；它滿足ez1·ez2=ez1 z2；ez以2kπi為周期，ez=ez 2kπi；并且它的導數(shù)與本身相同，即 (ez)'=ez。函數(shù)w=ez在全平面實現(xiàn)共形映射。任何一個區(qū)域，只要對區(qū)域內(nèi)任兩點，其虛部之差小于2π，它就是ez的單葉性區(qū)域。例如，指數(shù)函數(shù)把直線x=x0變?yōu)閳A周，把直線y=y0變?yōu)樯渚€argw=y0，因而把區(qū)域Sk變?yōu)閰^(qū)域0w<2π，把寬度為β的帶形區(qū)域α0<α0 β(β≤2π)變?yōu)殚_度為β的角形域α0w<α0 β。

復變對數(shù)函數(shù)

對數(shù)函數(shù)w=lnz是指數(shù)函數(shù)w=ez的反函數(shù)，它有無窮多個值2kπ（k為整數(shù)），稱為它的分支。每一個分支在區(qū)域θ0z<θ0 2π中是解析的。對數(shù)函數(shù)把這個區(qū)域單葉地變?yōu)閹螀^(qū)域θ0w<θ0 2π，也把開度為β的角形域θ0z<θ0 β(β≤2π)變?yōu)閷挾葹棣碌膸螀^(qū)域θ0w<θ0 β。像實對數(shù)函數(shù)一樣，它滿足lnz1 lnz2=ln(z1·z2)。

復變反三角函數(shù)

w=arcsinz，w=arccosz，w=arctanz分別是sinz，cosz和tanz的反函數(shù)，并稱復變反三角函數(shù)。它們能由對數(shù)函數(shù)合成。它們都是多值函數(shù)。

復變雙曲函數(shù)

將實雙曲函數(shù)推廣到復數(shù)域得復變雙曲函數(shù)。像實雙曲函數(shù)一樣，復變雙曲函數(shù)能由復變指數(shù)函數(shù)合成。

復變冪函數(shù)

將實冪函數(shù)的實變量用復數(shù)替換即得復變冪函數(shù)。一般來說，它是多值函數(shù)。

導數(shù)函數(shù)

一般初等函數(shù)的導數(shù)還是初等函數(shù)，但初等函數(shù)的不定積分不一定是初等函數(shù)。另外初等函數(shù)的反函數(shù)不一定是初等函數(shù)。

常見定義

1.由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算及有限次復合所得到的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。

2.由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算及有限次復合構(gòu)成，并且是用一個解析式表達的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。

3.由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算及有限次復合構(gòu)成，并且可以用一個解析式表達的函數(shù)，稱為初等函。