三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，是以角度（數(shù)學(xué)上最常用弧度制，下同）為自變量，角度對(duì)應(yīng)任意角終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)或其比值為因變量的函數(shù)。也可以等價(jià)地用與單位圓有關(guān)的各種線段的長(zhǎng)度來定義。三角函數(shù)在研究三角形和圓等幾何形狀的性質(zhì)時(shí)有重要作用，也是研究周期性現(xiàn)象的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)工具。在數(shù)學(xué)分析中，三角函數(shù)也被定義為無窮級(jí)數(shù)或特定微分方程的解，允許它們的取值擴(kuò)展到任意實(shí)數(shù)值，甚至是復(fù)數(shù)值。

常見的三角函數(shù)包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)。在航海學(xué)、測(cè)繪學(xué)、工程學(xué)等其他學(xué)科中，還會(huì)用到如余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)、正矢函數(shù)、余矢函數(shù)、半正矢函數(shù)、半余矢函數(shù)等其他的三角函數(shù)。不同的三角函數(shù)之間的關(guān)系可以通過幾何直觀或者計(jì)算得出，稱為三角恒等式。

三角函數(shù)一般用于計(jì)算三角形中未知長(zhǎng)度的邊和未知的角度，在導(dǎo)航、工程學(xué)以及物理學(xué)方面都有廣泛的用途。另外，以三角函數(shù)為模版，可以定義一類相似的函數(shù)，叫做雙曲函數(shù)。常見的雙曲函數(shù)也被稱為雙曲正弦函數(shù)、雙曲余弦函數(shù)等等。三角函數(shù)（也叫做圓函數(shù)）是角的函數(shù)；它們?cè)谘芯咳切魏徒Ｖ芷诂F(xiàn)象和許多其他應(yīng)用中是很重要的。三角函數(shù)通常定義為包含這個(gè)角的直角三角形的兩個(gè)邊的比率，也可以等價(jià)的定義為單位圓上的各種線段的長(zhǎng)度。更現(xiàn)代的定義把它們表達(dá)為無窮級(jí)數(shù)或特定微分方程的解，允許它們擴(kuò)展到任意正數(shù)和負(fù)數(shù)值，甚至是復(fù)數(shù)值。

發(fā)展歷史

起源

公元五世紀(jì)到十二世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家對(duì)三角學(xué)作出了較大的貢獻(xiàn)。盡管當(dāng)時(shí)三角學(xué)仍然還是天文學(xué)的一個(gè)計(jì)算工具，是一個(gè)附屬品，但是三角學(xué)的內(nèi)容卻由于印度數(shù)學(xué)家的努力而大大的豐富了。

三角學(xué)中”正弦”和”余弦”的概念就是由印度數(shù)學(xué)家首先引進(jìn)的，他們還造出了比托勒密更精確的正弦表。

托勒密和希帕克造出的弦表是圓的全弦表，它是把圓弧同弧所夾的弦對(duì)應(yīng)起來的。印度數(shù)學(xué)家不同，他們把半弦（AC）與全弦所對(duì)弧的一半（AD）相對(duì)應(yīng)，即將AC與∠AOC對(duì)應(yīng)，這樣，他們?cè)斐龅木筒辉偈恰比冶怼?，而是”正弦表”了?/p>

印度人稱連結(jié)?。ˋB）的兩端的弦（AB）為”吉瓦（jiba）”，是弓弦的意思；稱AB的一半（AC）為”阿爾哈吉瓦”。后來”吉瓦”這個(gè)詞譯成阿拉伯文時(shí)被誤解為”彎曲”、”凹處”，阿拉伯語是”dschaib”。十二世紀(jì)，阿拉伯文被轉(zhuǎn)譯成拉丁文，這個(gè)字被意譯成了”sinus”。

古希臘歷史

早期對(duì)于三角函數(shù)的研究可以追溯到古代。古希臘三角術(shù)的奠基人是公元前2世紀(jì)的喜帕恰斯。他按照古巴比倫人的做法，將圓周分為360等份（即圓周的弧度為360度，與現(xiàn)代的弧度制不同）。對(duì)于給定的弧度，他給出了對(duì)應(yīng)的弦的長(zhǎng)度數(shù)值，這個(gè)記法和現(xiàn)代的正弦函數(shù)是等價(jià)的。喜帕恰斯實(shí)際上給出了最早的三角函數(shù)數(shù)值表。然而古希臘的三角學(xué)基本是球面三角學(xué)。這與古希臘人研究的主體是天文學(xué)有關(guān)。梅涅勞斯在他的著作《球面學(xué)》中使用了正弦來描述球面的梅涅勞斯定理。古希臘三角學(xué)與其天文學(xué)的應(yīng)用在埃及的托勒密時(shí)代達(dá)到了高峰，托勒密在《數(shù)學(xué)匯編》（Syntaxis Mathematica）中計(jì)算了36度角和72度角的正弦值，還給出了計(jì)算和角公式和半角公式的方法。托勒密還給出了所有0到180度的所有整數(shù)和半整數(shù)弧度對(duì)應(yīng)的正弦值。

古希臘文化傳播到古印度后，古印度人對(duì)三角術(shù)進(jìn)行了進(jìn)一步的研究。公元5世紀(jì)末的數(shù)學(xué)家阿耶波多提出用弧對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)的一半來對(duì)應(yīng)半弧的正弦，這個(gè)做法被后來的古印度數(shù)學(xué)家使用，和現(xiàn)代的正弦定義一致了。阿耶波多的計(jì)算中也使用了余弦和正割。他在計(jì)算弦長(zhǎng)時(shí)使用了不同的單位，重新計(jì)算了0到90度中間隔三又四分之三度（3.75°）的三角函數(shù)值表。然而古印度的數(shù)學(xué)與當(dāng)時(shí)的中國(guó)一樣，停留在計(jì)算方面，缺乏系統(tǒng)的定義和演繹的證明。阿拉伯人也采用了古印度人的正弦定義，但他們的三角學(xué)是直接繼承于古希臘。阿拉伯天文學(xué)家引入了正切和余切、正割和余割的概念，并計(jì)算了間隔10分（10′）的正弦和正切數(shù)值表。到了公元14世紀(jì)，阿拉伯人將三角計(jì)算重新以算術(shù)方式代數(shù)化（古希臘人采用的是建立在幾何上的推導(dǎo)方式）的努力為后來三角學(xué)從天文學(xué)中獨(dú)立出來，成為了有更廣泛應(yīng)用的學(xué)科奠定了基礎(chǔ)。

阿拉伯歷史

進(jìn)入15世紀(jì)后，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)文化開始傳入歐洲。隨著歐洲商業(yè)的興盛，航行、歷法測(cè)定和地理測(cè)繪中出現(xiàn)了對(duì)三角學(xué)的需求。在翻譯阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)著作的同時(shí)，歐洲數(shù)學(xué)家開始制作更詳細(xì)精確的三角函數(shù)值表。哥白尼的學(xué)生喬治·約阿希姆·瑞提克斯制作了間隔10秒（10″）的正弦表，有9位精確值。瑞提克斯還改變了正弦的定義，原來稱弧對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)是正弦，瑞提克斯則將角度對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)稱為正弦。16世紀(jì)后，數(shù)學(xué)家開始將古希臘有關(guān)球面三角的結(jié)果和定理轉(zhuǎn)化為平面三角定理。弗朗索瓦·韋達(dá)給出了托勒密的不少結(jié)果對(duì)應(yīng)的平面三角形式。他還嘗試計(jì)算了多倍角正弦的表達(dá)方式。

18世紀(jì)開始，隨著解析幾何等分析學(xué)工具的引進(jìn)，數(shù)學(xué)家們開始對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行分析學(xué)上的研究。牛頓在1669年的《分析學(xué)》一書中給出了正弦和余弦函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)表示。Collins將牛頓的結(jié)果告訴了詹姆斯·格列高里，后者進(jìn)一步給出了正切等三角函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)。萊布尼茲在1673年左右也獨(dú)立得到了這一結(jié)果。歐拉的《無窮小量分析引論》（Introductio in Analysin Infinitorum，1748年）對(duì)建立三角函數(shù)的分析處理做了最主要的貢獻(xiàn)，他定義三角函數(shù)為無窮級(jí)數(shù)，并表述了歐拉公式，還有使用接近現(xiàn)代的簡(jiǎn)寫sin.、cos.、tang.、cot.、sec.和cosec.。

弦表的發(fā)明

根據(jù)認(rèn)識(shí)，弦表的制作似應(yīng)該是由一系列不同的角出發(fā)，去作一系列直角三角形，然后一一量出AC，A’C’，A’’C’’…之間的距離。然而，第一張弦表制作者希臘文學(xué)家希帕克（Hipparchus，約前180~前125）不是這樣作，他采用的是在同一個(gè)固定的圓內(nèi)，去計(jì)算給定度數(shù)的圓弧AB所對(duì)應(yīng)的弦AB的長(zhǎng)。這就是說，希帕克是靠計(jì)算，而不是靠工具量出弦長(zhǎng)來制表的，這正是他的卓越之處。希帕克的原著早已失傳，關(guān)于希帕克在三角學(xué)上的成就，是從公元二世紀(jì)希臘著名天文學(xué)家托勒密的遺著《天文集》中得到的。雖然托勒密說他的這些成就出自希帕克，但事實(shí)上不少是他自己的創(chuàng)造。

據(jù)托勒密書中記載，為了度量圓弧與弦長(zhǎng)，他們采用了巴比倫人的60進(jìn)位法。把圓周360等分，把它的半徑60等分，在圓周和半徑的每一等分中再等分60份，每一小份又等分為60份，這樣就得出了托勒密所謂的第一小份和第二小份。很久以后，羅馬人把它們分別取名為”partes minutae primae”和”partes minutae secundae”；后來，這兩個(gè)名字演變?yōu)椤眒inute”和”second”，成為角和時(shí)間的度量上”分”和”秒”這兩個(gè)單位得起源。

建立了半徑與圓周的度量單位以后，希帕克和托勒密先著手計(jì)算一些特殊圓弧所對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)。比如60°?。?/6圓周長(zhǎng)）所對(duì)的弦長(zhǎng)，正好是內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)，它與半徑相等，因此得出60°弧對(duì)應(yīng)的弦值是60個(gè)半徑單位（半徑長(zhǎng)的1/60為一個(gè)單位）；用同樣的方法，可以算出120°弧、90°弧以及72°弧所對(duì)應(yīng)的弦值。有了這些弧所對(duì)應(yīng)的弦值，接著就利用所稱的”托勒密定理”，來推算兩條已知所對(duì)弦長(zhǎng)的弧的”和”與”差”所對(duì)的弦長(zhǎng)，以及由一條弧所對(duì)的弦長(zhǎng)來計(jì)算這條弧的一半所對(duì)的弦長(zhǎng)。正是基于這樣一種幾何上的推算。他們終于造出了世界上第一張弦表。

傳入中國(guó)

三角學(xué)輸入中國(guó)，開始于明崇禎4年（公元1631年），這年鄧玉函、湯若望和徐光啟合編《大測(cè)》，作為歷書的一部份呈獻(xiàn)給朝廷，這是中國(guó)第一部編譯的三角學(xué)。在《大測(cè)》中，首先將sine譯為”正半弦”，簡(jiǎn)稱”正弦”，這就成了“正弦”一詞的由來。

定義

直角三角形三角函數(shù)定義

在直角三角形中，當(dāng)平面上的三點(diǎn)A、B、C的連線，AB、AC、BC，構(gòu)成一個(gè)直角三角形，其中∠ACB為直角。對(duì)∠BAC而言，對(duì)邊（opposite）a=BC、斜邊（hypotenuse）c=AB、鄰邊（adjacent）b=AC，則存在以下關(guān)系：

基本函數(shù) 英文 縮寫 表達(dá)式 語言描述

正弦函數(shù) sine sin a/c ∠A的對(duì)邊比斜邊

余弦函數(shù) cosine cos b/c ∠A的鄰邊比斜邊

正切函數(shù) tangent tan a/b ∠A的對(duì)邊比鄰邊

余切函數(shù) cotangent cot b/a ∠A的鄰邊比對(duì)邊

正割函數(shù) secant sec c/b ∠A的斜邊比鄰邊

余割函數(shù) cosecant csc c/a ∠A的斜邊比對(duì)邊

注：正切函數(shù)、余切函數(shù)曾被寫作tg、ctg，現(xiàn)已不用這種寫法。

單位圓定義

六個(gè)三角函數(shù)也可以依據(jù)半徑為1中心為原點(diǎn)的單位圓來定義。單位圓定義在實(shí)際計(jì)算上沒有大的價(jià)值；實(shí)際上對(duì)多數(shù)角它都依賴于直角三角形。但是單位圓定義的確允許三角函數(shù)對(duì)所有正數(shù)和負(fù)數(shù)輻角都有定義，而不只是對(duì)于在0和π/2弧度之間的角。它也提供了一個(gè)圖像，把所有重要的三角函數(shù)都包含了。根據(jù)勾股定理，單位圓的方程是：對(duì)于圓上的任意點(diǎn)（x,y），x2 y2=1。

圖像中給出了用弧度度量的一些常見的角:逆時(shí)針方向的度量是正角，而順時(shí)針的度量是負(fù)角。設(shè)一個(gè)過原點(diǎn)的線，同x軸正半部分得到一個(gè)角θ，并與單位圓相交。這個(gè)交點(diǎn)的x和y坐標(biāo)分別等于cosθ和sinθ。圖像中的三角形確保了這個(gè)公式；半徑等于斜邊且長(zhǎng)度為1，所以有sinθ=y/1和cosθ=x/1。單位圓可以被視為是通過改變鄰邊和對(duì)邊的長(zhǎng)度，但保持斜邊等于1的一種查看無限個(gè)三角形的方式。

對(duì)于大于2π或小于等于2π的角度，可直接繼續(xù)繞單位圓旋轉(zhuǎn)。在這種方式下，正弦和余弦變成了周期為2π的周期函數(shù)：對(duì)于任何角度θ和任何整數(shù)k。

周期函數(shù)的最小正周期叫做這個(gè)函數(shù)的“基本周期”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圓，也就是2π弧度或360°；正切或余切的基本周期是半圓，也就是π弧度或180°。上面只有正弦和余弦是直接使用單位圓定義的，其他四個(gè)三角函數(shù)的定義如圖所示。

在正切函數(shù)的圖像中，在角kπ附近變化緩慢，而在接近角（k 1/2）π的時(shí)候變化迅速。正切函數(shù)的圖像在θ=（k 1/2）π有垂直漸近線。這是因?yàn)樵讦葟淖髠?cè)接進(jìn)（k 1/2）π的時(shí)候函數(shù)接近正無窮，而從右側(cè)接近（k 1/2）π的時(shí)候函數(shù)接近負(fù)無窮。

另一方面，所有基本三角函數(shù)都可依據(jù)中心為O的單位圓來定義，類似于歷史上使用的幾何定義。特別是，對(duì)于這個(gè)圓的弦AB，這里的θ是對(duì)向角的一半，sinθ是AC（半弦），這是印度的阿耶波多介入的定義。cosθ是水平距離OC，versinθ=1-cosθ是CD。tanθ是通過A的切線的線段AE的長(zhǎng)度，所以這個(gè)函數(shù)才叫正切。cotθ是另一個(gè)切線段AF。secθ=OE和cscθ=OF是割線（與圓相交于兩點(diǎn)）的線段，所以可以看作OA沿著A的切線分別向水平和垂直軸的投影。DE是exsecθ=secθ-1（正割在圓外的部分）。通過這些構(gòu)造，容易看出正割和正切函數(shù)在θ接近π/2的時(shí)候發(fā)散，而余割和余切在θ接近零的時(shí)候發(fā)散。

依據(jù)單位圓定義，可以做三個(gè)有向線段（向量）來表示正弦、余弦、正切的值。如圖所示，圓O是一個(gè)單位圓，P是α的終邊與單位圓上的交點(diǎn)，M點(diǎn)是P在x軸的投影，A（1,0）是圓O與x軸正半軸的交點(diǎn)，過A點(diǎn)做過圓O的切線。

那么向量MP對(duì)應(yīng)的就是α的正弦值，向量OM對(duì)應(yīng)的就是余弦值。OP的延長(zhǎng)線（或反向延長(zhǎng)線）與過A點(diǎn)的切線的交點(diǎn)為T，則向量AT對(duì)應(yīng)的就是正切值。向量的起止點(diǎn)不能顛倒，因?yàn)槠浞较蚴怯幸饬x的。

借助線三角函數(shù)線，觀察到第二象限角α的正弦值為正，余弦值為負(fù)，正切值為負(fù)。

級(jí)數(shù)定義

只使用幾何和極限的性質(zhì)，可以證明正弦的導(dǎo)數(shù)是余弦，余弦的導(dǎo)數(shù)是負(fù)的正弦。（在微積分中，所有角度都以弧度來度量）。接著使用泰勒級(jí)數(shù)的理論來證明下列恒等式對(duì)于所有實(shí)數(shù)x都成立：

這些恒等式經(jīng)常被用做正弦和余弦函數(shù)的定義。它們經(jīng)常被用做三角函數(shù)的嚴(yán)格處理和應(yīng)用的起點(diǎn)（比如，在傅里葉級(jí)數(shù)中），因?yàn)闊o窮級(jí)數(shù)的理論可從實(shí)數(shù)系的基礎(chǔ)上發(fā)展而來，不需要任何幾何方面的考慮。這樣，這些函數(shù)的可微性和連續(xù)性便可以單獨(dú)從級(jí)數(shù)定義來確立。

三角學(xué)

“三角學(xué)”，英文Trigonometry?，F(xiàn)代三角學(xué)一詞最初見于希臘文。最先使用Trigonometry這個(gè)詞的是皮蒂斯楚斯（Bartholomeo Pitiscus,1516-1613），他在1595年出版一本著作《三角學(xué)：解三角學(xué)的簡(jiǎn)明處理》，創(chuàng)造了這個(gè)新詞。它是由τριγωυου（三角形）及μετρει υ（測(cè)量）兩字構(gòu)成的，原意為三角形的測(cè)量，或者說解三角形。古希臘文里沒有這個(gè)字，原因是當(dāng)時(shí)三角學(xué)還沒有形成一門獨(dú)立的科學(xué)，而是依附于天文學(xué)。因此解三角形構(gòu)成了古代三角學(xué)的實(shí)用基礎(chǔ)。

早期的解三角形是因天文觀測(cè)的需要而引起的。還在很早的時(shí)候，由于墾殖和畜牧的需要，人們就開始作長(zhǎng)途遷移；后來，貿(mào)易的發(fā)展和求知的欲望，又推動(dòng)他們?nèi)ラL(zhǎng)途旅行。在當(dāng)時(shí)，這種遷移和旅行是一種冒險(xiǎn)的行動(dòng)。人們穿越無邊無際、荒無人煙的草地和原始森林，或者經(jīng)水路沿著海岸線作長(zhǎng)途航行，無論是那種方式，都首先要明確方向。那時(shí)，人們白天拿太陽(yáng)作路標(biāo)，夜里則以星星為指路燈。太陽(yáng)和星星給長(zhǎng)期跋山涉水的商隊(duì)指出了正確的道路，也給那些沿著遙遠(yuǎn)的異域海岸航行的人指出了正確的道路。

就這樣，最初的以太陽(yáng)和星星為目標(biāo)的天文觀測(cè)，以及為這種觀測(cè)服務(wù)的原始的三角測(cè)量就應(yīng)運(yùn)而生了。因此可以說，三角學(xué)是緊密地同天文學(xué)相聯(lián)系而邁出自己發(fā)展史的第一步的。

三角學(xué)問題的提出：三角學(xué)理論的基礎(chǔ)，是對(duì)三角形各元素之間相依關(guān)系的認(rèn)識(shí)。一般認(rèn)為，這一認(rèn)識(shí)最早是由希臘天文學(xué)家獲得的。當(dāng)時(shí)，希臘天文學(xué)家為了正確地測(cè)量天體的位置。研究天體的運(yùn)行軌道，力求把天文學(xué)發(fā)展成為一門以精確的觀測(cè)和正確的計(jì)算為基礎(chǔ)之具有定量分析的科學(xué)。他們給自己提出的第一個(gè)任務(wù)是解直角三角形，因?yàn)檫M(jìn)行天文觀測(cè)時(shí)，人與星球以及大地的位置關(guān)系，通常是以直角三角形邊角之間的關(guān)系反映出來的。在很早以前，希臘天文學(xué)家從天文觀測(cè)的經(jīng)驗(yàn)中獲得了這樣一個(gè)認(rèn)識(shí)：星球距地面的高度是可以通過人觀測(cè)星球時(shí)所采用的角度來反映的；角度（∠ABC）越大，星球距地面（AC）就越高。然而，星球的高度與人觀測(cè)的角度之間在數(shù)量上究竟怎么樣呢？能不能把各種不同的角度所反映的星球的高度都一一算出來呢？這就是天文學(xué)向數(shù)學(xué)提出的第一個(gè)課題－制造弦表。所謂弦表，就是在保持AB不變的情況下可以供查閱的表，AC的長(zhǎng)度與∠ABC的大小之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

獨(dú)立三角學(xué)的產(chǎn)生：雖然后期的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家已經(jīng)開始對(duì)三角學(xué)進(jìn)行專門的整理和研究，他們的工作也可以算作是使三角學(xué)從天文學(xué)中獨(dú)立出來的表現(xiàn)，但是嚴(yán)格地說，他們并沒有創(chuàng)立起一門獨(dú)立的三角學(xué)。真正把三角學(xué)作為數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立學(xué)科加以系統(tǒng)敘述的，是德國(guó)數(shù)學(xué)家雷基奧蒙坦納斯。

雷基奧蒙坦納斯是十五世紀(jì)最有聲望的德國(guó)數(shù)學(xué)家約翰·謬?yán)盏墓P名。他生于哥尼斯堡，年輕時(shí)就積極從事歐洲文藝復(fù)興時(shí)期作品的收集和翻譯工作，并熱心出版古希臘和阿拉伯著作。因此對(duì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家們?cè)谌欠矫娴墓ぷ鞅容^了解。

1464年，他以雷基奧蒙坦納斯的名字發(fā)表了《論各種三角形》。在書中，他把以往散見在各種書上的三角學(xué)知識(shí)，系統(tǒng)地綜合了起來，成了三角學(xué)在數(shù)學(xué)上的一個(gè)分支，現(xiàn)代三角學(xué)的確認(rèn)：直到十八世紀(jì)，所有的三角量：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，都始終被認(rèn)為是已知圓內(nèi)與同一條弧有關(guān)的某些線段，即三角學(xué)是以幾何的面貌表現(xiàn)出來的，這也可以說是三角學(xué)的古典面貌。三角學(xué)的現(xiàn)代特征，是把三角量看作為函數(shù)，即看作為是一種與角相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。這方面的工作是由歐拉作出的。1748年，歐拉發(fā)表著名的《無窮小分析引論》一書，指出：”三角函數(shù)是一種函數(shù)線與圓半徑的比值”。具體地說，任意一個(gè)角的三角函數(shù)，都可以認(rèn)為是以這個(gè)角的頂點(diǎn)為圓心，以某定長(zhǎng)為半徑作圓，由角的一邊與圓周的交點(diǎn)P向另一邊作垂線PM后，所得的線段OP、OM、MP（即函數(shù)線）相互之間所取的比值，sinα=MP/OP，cosα=OM/OP，tanα=MP/OM等。若令半徑為單位長(zhǎng)，那么所有的六個(gè)三角函數(shù)又可大為簡(jiǎn)化。

歐拉的這個(gè)定義使三角學(xué)從靜態(tài)地只是研究三角形解法的狹隘天地中解脫了出來，使它有可能去反映運(yùn)動(dòng)和變化的過程，從而使三角學(xué)成為一門具有現(xiàn)代特征的分析性學(xué)科。正如歐拉所說，引進(jìn)三角函數(shù)以后，原來意義下的正弦等三角量，都可以脫離幾何圖形去進(jìn)行自由的運(yùn)算。一切三角關(guān)系式也將很容易地從三角函數(shù)的定義出發(fā)直接得出。這樣，就使得從希帕克起許多數(shù)學(xué)家為之奮斗而得出的三角關(guān)系式，有了堅(jiān)實(shí)的理論依據(jù)，而且大大地豐富了。嚴(yán)格地說，這時(shí)才是三角學(xué)的真正確立。

誘導(dǎo)公式

定名法則

90°的奇數(shù)倍 α的三角函數(shù)，其絕對(duì)值與α三角函數(shù)的絕對(duì)值互為余函數(shù)。90°的偶數(shù)倍 α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)絕對(duì)值相同。也就是“奇余偶同，奇變偶不變”。

定號(hào)法則

將α看做銳角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函數(shù)的符號(hào)。也就是“象限定號(hào)，符號(hào)看象限”（或?yàn)椤捌孀兣疾蛔?，符?hào)看象限”）。

在Kπ/2中如果K為偶數(shù)時(shí)函數(shù)名不變，若為奇數(shù)時(shí)函數(shù)名變?yōu)橄喾吹暮瘮?shù)名。正負(fù)號(hào)看原函數(shù)中α所在象限的正負(fù)號(hào)。關(guān)于正負(fù)號(hào)有個(gè)口訣；一全正，二正弦，三兩切，四余弦，即第一象限全部為正，第二象限角，正弦為正，第三象限，正切和余切為正，第四象限，余弦為正。或簡(jiǎn)寫為“ASTC”，即“all”“sin”“tan cot”“cos”依次為正。還可簡(jiǎn)記為：sin上cos右tan/cot對(duì)角，即sin的正值都在x軸上方，cos的正值都在y軸右方，tan/cot的正值斜著。

比如：90° α。定名：90°是90°的奇數(shù)倍，所以應(yīng)取余函數(shù)；定號(hào)：將α看做銳角，那么90° α是第二象限角，第二象限角的正弦為正，余弦為負(fù)。所以sin（90° α）=cosα,cos（90° α）=-sinα這個(gè)非常神奇，屢試不爽~

還有一個(gè)口訣“縱變橫不變，符號(hào)看象限”，例如：sin（90° α），90°的終邊在縱軸上，所以函數(shù)名變?yōu)橄喾吹暮瘮?shù)名，即cos，所以sin（90° α）=cosα。

概念

定義域和值域

sin（x），cos（x）的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇-1,1]。

tan（x）的定義域?yàn)閤不等于π/2 kπ（k∈Z），值域?yàn)镽。

cot（x）的定義域?yàn)閤不等于kπ（k∈Z）,值域?yàn)镽。

y=a·sin（x） b·cos（x） c的值域?yàn)閇c-√（a2 b2）,c √（a2 b2）]

周期T=2π/ω

函數(shù)圖象畫法

以y=sinx的圖像為例，得到y(tǒng)=Asin（ωx φ）的圖像：

方法一：

y=sinx→【左移（φ>0）/右移（φ<0）∣∣∣φ∣個(gè)單位】→y=sin（x φ）→【縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸縮到原來的（1/ω）】→y=sin（ωx φ）→【縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍（伸長(zhǎng)[A>1]/縮短[0<A<1]）】

方法二：

y=sinx→【縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸縮到原來的（1/ω）】→y=sinωx→【左移（φ>0）/右移（φ<0）∣φ∣/ω個(gè)單位】→y=sin（ωx φ）→【縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍（伸長(zhǎng)[A>1]/縮短[0<A<1]）】→y=Asin（ωx φ）

倍半角規(guī)律

如果角a的余弦值為1/2，那么a/2的余弦值為√3/2.

三角函數(shù)的反函數(shù)

三角函數(shù)的反函數(shù)，是多值函數(shù)。它們是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割為x的角。為限制反三角函數(shù)為單值函數(shù)，將反正弦函數(shù)的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，將y為反正弦函數(shù)的主值，記為y=arcsin x；相應(yīng)地，反余弦函數(shù)y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函數(shù)y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函數(shù)y=arccot x的主值限在0<y<π。

反三角函數(shù)實(shí)際上并不能叫做函數(shù)，因?yàn)樗⒉粷M足一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)一個(gè)函數(shù)值的要求，其圖像與其原函數(shù)關(guān)于函數(shù)y=x對(duì)稱。其概念首先由歐拉提出，并且首先使用了arc 函數(shù)名的形式表示反三角函數(shù)，而不是f-1（x）.

反三角函數(shù)主要是三個(gè)：

y=arcsin（x），定義域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]，圖象用紅色線條；

y=arccos（x），定義域[-1,1]，值域[0,π]，圖象用藍(lán)色線條；

y=arctan（x），定義域（-∞， ∞），值域（-π/2,π/2），圖象用綠色線條；

sinarcsin（x）=x,定義域[-1,1],值域[-π/2,π/2]

證明方法如下：設(shè)arcsin（x）=y,則sin（y）=x，將這兩個(gè)式子代入上式即可得

其他幾個(gè)用類似方法可得。

復(fù)數(shù)性質(zhì)

（1）對(duì)于z為實(shí)數(shù)y來說，復(fù)數(shù)域內(nèi)正余弦函數(shù)的性質(zhì)與通常所說的正余弦函數(shù)性質(zhì)是一樣的。

（2）復(fù)數(shù)域內(nèi)正余弦函數(shù)在z平面是解析的。

（3）在復(fù)數(shù)域內(nèi)不能再斷言|sinz|≦1,|cosz|≦1。

（4）sinz、cosz分別為奇函數(shù)，偶函數(shù)，且以2π為周期。

復(fù)數(shù)三角函數(shù)：

sin（a bi）=sinacosbi sinbicosa

=sinachb ishbcosa

cos（a-bi）=cosacosbi sinbisina

=cosachb ishbsina

tan（a bi）=sin（a bi）/cos（a bi）

cot（a bi）=cos（a bi）/sin（a bi）

sec（a bi）=1/cos（a bi）

csc（a bi）=1/sin（a bi）

相關(guān)定理

解釋

三角函數(shù)，正如其名稱那樣，在三角學(xué)中是十分重要的，主要是因?yàn)檎叶ɡ砼c余弦定理。

同時(shí)在解決物理中的力學(xué)問題時(shí)也很重要，主要在于力與力之間的轉(zhuǎn)換，并列出平衡方程。

正弦定理

對(duì)于邊長(zhǎng)為a,b和c而相應(yīng)角為A,B和C的三角形，有：

sinA/a=sinB/b=sinC/c

也可表示為：

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

變形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

其中R是三角形的外接圓半徑。

它可以通過把三角形分為兩個(gè)直角三角形并使用上述正弦的定義來證明。在這個(gè)定理中出現(xiàn)的公共數(shù)（sinA）/a是通過A,B和C三點(diǎn)的圓的直徑的倒數(shù)。正弦定理用于在一個(gè)三角形中（1）已知兩個(gè)角和一個(gè)邊求未知邊和角（2）已知兩邊及其一邊的對(duì)角求其他角和邊的問題。這是三角測(cè)量中常見情況。

三角函數(shù)正弦定理可用于求得三角形的面積：

S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB

余弦定理

對(duì)于邊長(zhǎng)為a、b、c而相應(yīng)角為A、B、C的三角形，有：

a2 = b2 c2- 2bc·cosA

b2 = a2 c2 - 2ac·cosB

c2 = a2 b2 - 2ab·cosC

也可表示為：

cosC=（a2 b2 －c2）/ 2ab

cosB=（a2 c2 -b2）/ 2ac

cosA=（c2 b2 -a2）/ 2bc

這個(gè)定理也可以通過把三角形分為兩個(gè)直角三角形來證明。余弦定理用于在一個(gè)三角形的兩個(gè)邊和一個(gè)角已知時(shí)確定未知的數(shù)據(jù)。

如果這個(gè)角不是兩條邊的夾角，那么三角形可能不是唯一的（邊-邊-角）。要小心余弦定理的這種歧義情況。

物理力學(xué)方面的平行四邊形定則中也會(huì)用到相關(guān)知識(shí)。

函數(shù)介紹

正弦函數(shù)

主詞條：正弦函數(shù)。

格式：sin（θ）。

作用：在直角三角形中，將大小為θ（單位為弧度）的角對(duì)邊長(zhǎng)度比斜邊長(zhǎng)度的比值求出，函數(shù)值為上述比的比值，也是csc（θ）的倒數(shù)。

函數(shù)圖像：波形曲線。

值域：-1~1。

余弦函數(shù)

主詞條：余弦函數(shù)。

格式：cos（θ）。

作用：在直角三角形中，將大小為（單位為弧度）的角鄰邊長(zhǎng)度比斜邊長(zhǎng)度的比值求出，函數(shù)值為上述比的比值，也是sec（θ）的倒數(shù)。

函數(shù)圖像：波形曲線。

值域：-1~1。

正切函數(shù)

主詞條：正切函數(shù)。

格式：tan（θ）。

作用：在直角三角形中，將大小為θ（單位為弧度）的角對(duì)邊長(zhǎng)度比鄰邊長(zhǎng)度的比值求出，函數(shù)值為上述比的比值，也是cot（θ）的倒數(shù)。

函數(shù)圖像：右圖平面直角坐標(biāo)系反映。

值域：-∞~∞。

余切函數(shù)

主詞條：余切函數(shù)。

格式：cot（θ）。

作用：在直角三角形中，將大小為θ（單位為弧度）的角鄰邊長(zhǎng)度比對(duì)邊長(zhǎng)度的比值求出，函數(shù)值為上述比的比值，也是tan（θ）的倒數(shù)。

函數(shù)圖像：右圖平面直角坐標(biāo)系反映。

值域：-∞~∞。

正割函數(shù)

主詞條：正割函數(shù)。

格式：sec（θ）。

作用：在直角三角形中，將斜邊長(zhǎng)度比大小為θ（單位為弧度）的角鄰邊長(zhǎng)度的比值求出，函數(shù)值為上述比的比值，也是cos（θ）的倒數(shù)。

函數(shù)圖像：右圖平面直角坐標(biāo)系反映。

值域：≥1或≤-1。

余割函數(shù)

主詞條：余割函數(shù)。

格式：csc（θ）。

作用：在直角三角形中，將斜邊長(zhǎng)度比大小為θ（單位為弧度）的角對(duì)邊長(zhǎng)度的比值求出，函數(shù)值為上述比的比值，也是sin（θ）的倒數(shù)。

函數(shù)圖像：右圖平面直角坐標(biāo)系反映。

值域：≥1或≤-1。

正矢函數(shù)

主詞條：正矢函數(shù)。

格式：versin（θ）。

作用：在直角三角形中，求出1-cos（θ）（括號(hào)中填的是大小為θ（單位為弧度）的角的大?。?，函數(shù)值為1-cos（θ）。

值域：0~2。

余矢函數(shù)

主詞條：余矢函數(shù)。

格式：coversin（θ）。

作用：在直角三角形中，求出1-sin（θ）（括號(hào)中填的是大小為θ（單位為弧度）的角的大小），函數(shù)值為1-sin（θ）。

值域：0~2。

半正矢函數(shù)

主詞條：半正矢函數(shù)。

格式：haversin（θ）。

作用：在直角三角形中，求出[1-cos（θ）]÷2（括號(hào)中填的是大小為θ（單位為弧度）的角的大?。?，函數(shù)值為[1-cos（θ）]÷2。

值域：0~1。

半余矢函數(shù)

主詞條：半余矢函數(shù)。

格式：hacoversin（θ）。

作用：在直角三角形中，求出[1-sin（θ）]÷2（括號(hào)中填的是大小為θ（單位為弧度）的角的大小），函數(shù)值為[1-sin（θ）]÷2。

值域：0~1。

外正割函數(shù)

主詞條：外正割函數(shù)。

格式：exsec（θ）。

作用：在直角三角形中，求出sec（θ）-1（括號(hào)中填的是大小為θ（單位為弧度）的角的大小），函數(shù)值為sec（θ）-1。

外余割函數(shù)

主詞條：外余割函數(shù)。

格式：excsc（θ）。

作用：在直角三角形中，求出csc（θ）-1（括號(hào)中填的是大小為θ（單位為弧度）的角的大?。?，函數(shù)值為csc（θ）-1。

記憶口訣

三角函數(shù)是函數(shù)，象限符號(hào)坐標(biāo)注。

函數(shù)圖像單位圓，周期奇偶增減現(xiàn)。

同角關(guān)系很重要，化簡(jiǎn)證明都需要。

正六邊形頂點(diǎn)處，從上到下弦切割。

中心記上數(shù)字一，連結(jié)頂點(diǎn)三角形。

向下三角平方和，倒數(shù)關(guān)系是對(duì)角。

頂點(diǎn)任意一函數(shù)，等于后面兩根除。

誘導(dǎo)公式就是好，負(fù)化正后大化小。

變成銳角好查表，化簡(jiǎn)證明少不了。

二的一半整數(shù)倍，奇數(shù)化余偶不變。

將其后者視銳角，符號(hào)原來函數(shù)判。

兩角和的余弦值，化為單角好求值。

余弦積減正弦積，換角變形眾公式。

和差化積須同名，互余角度變名稱。

計(jì)算證明角先行，注意結(jié)構(gòu)函數(shù)名。

保持基本量不變，繁難向著簡(jiǎn)易變。

逆反原則作指導(dǎo)，升冪降次和差積。

條件等式的證明，方程思想指路明。

萬能公式不一般，化為有理式居先。

公式順用和逆用，變形運(yùn)用加巧用。

一加余弦想余弦，一減余弦想正弦。

冪升一次角減半，升冪降次它為范。

三角函數(shù)反函數(shù)，實(shí)質(zhì)就是求角度。

先求三角函數(shù)值，再判角取值范圍。

利用直角三角形，形象直觀好換名。

簡(jiǎn)單三角的方程，化為最簡(jiǎn)求解集。