數(shù)列（sequence of number），是以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的一列有序的數(shù)。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（通常也叫做首項(xiàng)），排在第二位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，以此類推，排在第n位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，通常用an表示。

著名的數(shù)列有斐波那契數(shù)列，卡特蘭數(shù)，楊輝三角等。

由來

三角形數(shù)

傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯（約公元前570-約公元前500年）學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們?cè)谏碁┥袭孅c(diǎn)或用小石子來表示數(shù)。比如，他們研究過：

由于這些數(shù)可以用如圖1所示的三角形點(diǎn)陣表示，他們就將其稱為三角形數(shù)。

正方形數(shù)

類似地，被稱為正方形數(shù)，因?yàn)檫@些數(shù)能夠表示成正方形。因此，按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列。

概念

函數(shù)解釋

數(shù)列的函數(shù)理解：

①數(shù)列是一種特殊的函數(shù)。其特殊性主要表現(xiàn)在其定義域和值域上。數(shù)列可以看作一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函數(shù)，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

②用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)數(shù)列是重要的思想方法，一般情況下函數(shù)有三種表示方法，數(shù)列也不例外，通常也有三種表示方法：a.列表法；b。圖像法；c.解析法。其中解析法包括以通項(xiàng)公式給出數(shù)列和以遞推公式給出數(shù)列。

③函數(shù)不一定有解析式，同樣數(shù)列也并非都有通項(xiàng)公式。

一般形式

數(shù)列的一般形式可以寫成

簡(jiǎn)記為{an}。

項(xiàng)

數(shù)列中的項(xiàng)必須是數(shù)，它可以是實(shí)數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)。

用符號(hào){an}表示數(shù)列，只不過是“借用”集合的符號(hào)，它們之間有本質(zhì)上的區(qū)別：1.集合中的元素是互異的，而數(shù)列中的項(xiàng)可以是相同的。2.集合中的元素是無序的，而數(shù)列中的項(xiàng)必須按一定順序排列，也就是必須是有序的。

分類

（1）有窮數(shù)列和無窮數(shù)列：

項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列為“有窮數(shù)列”（finite sequence）；項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列為“無窮數(shù)列”（infinite sequence）。

（2）正項(xiàng)數(shù)列：

數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)的為正項(xiàng)數(shù)列。

（3）遞增數(shù)列：

每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞增數(shù)列；如：1，2，3，4，5，6，7。

（4）遞減數(shù)列：

每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞減數(shù)列；如：8，7，6，5，4，3，2，1。

（5）擺動(dòng)數(shù)列：

從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做擺動(dòng)數(shù)列（搖擺數(shù)列）。

（6）周期數(shù)列：各項(xiàng)呈周期性變化的數(shù)列叫做周期數(shù)列（如三角函數(shù)）。

（7）常數(shù)數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列叫做常數(shù)數(shù)列（如：2，2，2，2，2，2，2，2，2）。

公式

（1）通項(xiàng)公式：數(shù)列的第N項(xiàng)an與項(xiàng)的序數(shù)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式an=f(n)來表示，這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，如。數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)：1）有些數(shù)列的通項(xiàng)公式可以有不同形式，即不唯一；2）有些數(shù)列沒有通項(xiàng)公式（如：素?cái)?shù)由小到大排成一列2，3，5，7，11，...）。

（2）遞推公式：如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與它前一項(xiàng)或幾項(xiàng)的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式。數(shù)列遞推公式特點(diǎn)：1）有些數(shù)列的遞推公式可以有不同形式，即不唯一。2）有些數(shù)列沒有遞推公式，即有遞推公式不一定有通項(xiàng)公式。

等差數(shù)列

定義

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列（arithmetic sequence），這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差（common difference），公差通常用字母d表示，前n項(xiàng)和用Sn表示。等差數(shù)列可以縮寫為A.P.（Arithmetic Progression）。

通項(xiàng)公式

an=a1 (n-1)d

其中，n=1時(shí)a1=S1；n≥2時(shí)an=Sn-Sn-1。

an=kn b(k,b為常數(shù))推導(dǎo)過程：an=dn a1-d令d=k，a1-d=b則得到an=kn b。

等差中項(xiàng)

由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列堪稱最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列。這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)（arithmetic mean）。有關(guān)系：A=(a b)÷2。

前n項(xiàng)和

倒序相加法推導(dǎo)前n項(xiàng)和公式：

Sn=a1 a2 a3 ····· an=a1 (a1 d) (a1 2d) ······ [a1 (n-1)d]①

Sn=an an-1 an-2 ······ a1=an (an-d) (an-2d) ······ [an-(n-1)d]②

由① ②得2Sn=(a1 an) (a1 an) ······ (a1 an)（n個(gè)）=n(a1 an)

∴Sn=n(a1 an)÷2。

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和等于首末兩項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)乘積的一半：

Sn=n(a1 an)÷2=na1 n(n-1)d÷2

Sn=dn2÷2 n(a1-d÷2)

亦可得

a1=2sn÷n-an

an=2sn÷n-a1

有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n 1=(2n 1)an 1

性質(zhì)

（1）任意兩項(xiàng)am，an的關(guān)系為：an=am (n-m)d，它可以看作等差數(shù)列廣義的通項(xiàng)公式。

（2）從等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式還可推出：a1 an=a2 an-1=a3 an-2=…=ak an-k 1，k∈N*。

（3）若m，n，p，q∈N*，且m n=p q，則有am an=ap aq。

（4）對(duì)任意的k∈N*，有Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差數(shù)列。

應(yīng)用

日常生活中，人們常常用到等差數(shù)列如：在給各種產(chǎn)品的尺寸劃分級(jí)別時(shí)，當(dāng)其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時(shí)，常按等差數(shù)列進(jìn)行分級(jí)。若為等差數(shù)列，且有an=m，am=n，則am n=0。其于數(shù)學(xué)的中的應(yīng)用，可舉例：快速算出從23到132之間6的整倍數(shù)有多少個(gè)，算法不止一種，這里介紹用數(shù)列算令等差數(shù)列首項(xiàng)a1=24（24為6的4倍），等差d=6；于是令an=24 6(n-1)<=132即可解出n=19。

等比數(shù)列

定義

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列（geometric sequence）。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。

等比數(shù)列可以縮寫為G.P.（Geometric Progression）。

等比中項(xiàng)

如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)。

性質(zhì)

（1）若m、n、p、q∈N*，且m n=p q，則；

（2）在等比數(shù)列中，依次每k項(xiàng)之和仍成等比數(shù)列。

（3）從等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式可以推出：

（4）等比中項(xiàng)：q、r、p成等比數(shù)列，則，則為等比中項(xiàng)。

記，則有。

另外，一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列各項(xiàng)取同底對(duì)數(shù)后構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列；反之，以任一個(gè)正數(shù)C為底，用一個(gè)等差數(shù)列的各項(xiàng)做指數(shù)構(gòu)造冪，則是等比數(shù)列。在這個(gè)意義下，我們說：一個(gè)正項(xiàng)等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。

應(yīng)用

等比數(shù)列在生活中也是常常運(yùn)用的。如：銀行有一種支付利息的方式---復(fù)利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計(jì)算下一期的利息，也就是人們通常說的利滾利。按照復(fù)利計(jì)算本利和的公式：本利和=本金*(1 利率)^存期。

等和數(shù)列

“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。

對(duì)一個(gè)數(shù)列，如果其任意的連續(xù)k（k≥2）項(xiàng)的和都相等，我們就把此數(shù)列叫做等和數(shù)列，它的性質(zhì)是：必定是循環(huán)數(shù)列。