把一個多項式在一個范圍（如實數(shù)范圍內(nèi)分解，即所有項均為實數(shù)）化為幾個整式的積的形式，這種式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。

基本概念

定義

把一個多項式在一個范圍化為幾個整式的積的形式，這種式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫作把這個多項式分解因式。

因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，在數(shù)學(xué)求根作圖、解一元二次方程方面也有很廣泛的應(yīng)用，是解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具。

因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)。學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所需的，而且對于培養(yǎng)解題技能、發(fā)展思維能力都有著十分獨(dú)特的作用。學(xué)習(xí)它，既可以復(fù)習(xí)整式的四則運(yùn)算，又為學(xué)習(xí)分式打好基礎(chǔ)；學(xué)好它，既可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察、思維發(fā)展性、運(yùn)算能力，又可以提高綜合分析和解決問題的能力。

相關(guān)結(jié)論

基本結(jié)論：分解因式為整式乘法的逆過程。

高級結(jié)論：在高等代數(shù)上，因式分解有一些重要結(jié)論，在初等代數(shù)層面上證明很困難，但是理解很容易。

（1）因式分解與解高次方程有密切的關(guān)系。對于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相對固定和容易的方法。在數(shù)學(xué)上可以證明，對于一元三次方程和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因為公式過于復(fù)雜，在非專業(yè)領(lǐng)域沒有介紹。對于分解因式，三次多項式和四次多項式也有固定的分解方法，只是比較復(fù)雜。對于五次以上的一般多項式，已經(jīng)證明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也沒有固定解法。

（2）所有的三次和三次以上的一元多項式在實數(shù)范圍內(nèi)都可以因式分解，所有的二次或二次以上的一元多項式在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)都可以因式分解。這看起來或許有點不可思議。比如x? 1，這是一個一元四次多項式，看起來似乎不能因式分解。但是它的次數(shù)高于3，所以一定可以因式分解。也可以用待定系數(shù)法將其分解，只是分解出來的式子并不整潔。（這是因為，由代數(shù)基本定理可知n次一元多項式總是有n個根，也就是說，n次一元多項式總是可以分解為n個一次因式的乘積。并且還有一條定理：實系數(shù)多項式的虛數(shù)根兩兩共軛的，將每對共軛的虛數(shù)根對應(yīng)的一次因式相乘，可以得到二次的實系數(shù)因式，從而這條結(jié)論也就成立了。）

（3）因式分解雖然沒有固定方法，但是求兩個多項式的公因式卻有固定方法。因式分解很多時候就是用來提公因式的。尋找公因式可以用輾轉(zhuǎn)相除法來求得。標(biāo)準(zhǔn)的輾轉(zhuǎn)相除技能對于中學(xué)生來說難度頗高，但是中學(xué)有時候要處理的多項式次數(shù)并不太高，所以反復(fù)利用多項式的除法也可以但比較笨，不過能有效地解決找公因式的問題。

（4）因式分解是很困難的，初中所接觸的只是因式分解很簡單的一部分。

分解一般步驟

1、如果多項式的首項為負(fù)，應(yīng)先提取負(fù)號；

這里的“負(fù)”，指“負(fù)號”。如果多項式的第一項是負(fù)的，一般要提出負(fù)號，使括號內(nèi)第一項系數(shù)是正的。

2、如果多項式的各項含有公因式，那么先提取這個公因式，再進(jìn)一步分解因式；

要注意：多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式后，括號內(nèi)切勿漏掉1；提公因式要一次性提干凈，并使每一個括號內(nèi)的多項式都不能再分解。

3、如果各項沒有公因式，那么可嘗試運(yùn)用公式、十字相乘法來分解；

4、如果用上述方法不能分解，再嘗試用分組、拆項、補(bǔ)項法來分解。

口訣：先提首項負(fù)號，再看有無公因式，后看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適。

原則

1、分解因式是多項式的恒等變形，要求等式左邊必須是多項式。

2、分解因式的結(jié)果必須是以乘積的形式表示。

3、每個因式必須是整式，且每個因式的次數(shù)都必須低于原來多項式的次數(shù)。

4、結(jié)果最后只留下小括號，分解因式必須進(jìn)行到每一個多項式因式都不能再分解為止；

5、結(jié)果的多項式首項一般為正。在一個公式內(nèi)把其公因子抽出，即透過公式重組，然后再抽出公因子；

6、括號內(nèi)的首項系數(shù)一般為正；

7、如有單項式和多項式相乘，應(yīng)把單項式提到多項式前。如(b c)a要寫成a(b c)；

8、考試時在沒有說明化到實數(shù)時，一般只化到有理數(shù)就夠了，有說明實數(shù)的話，一般就要化到實數(shù)。

口訣：首項有負(fù)常提負(fù)，各項有“公”先提“公”，某項提出莫漏1，括號里面分到“底”。

分解方法

因式分解主要有十字相乘法，待定系數(shù)法，雙十字相乘法，對稱多項式，輪換對稱多項式法，余式定理法等方法，求根公因式分解沒有普遍適用的方法，初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法。而在競賽上，又有拆項和添減項法式法，換元法，長除法，短除法，除法等。

提公因式法

如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。公因式可以是單項式，也可以是多項式。

具體方法：在確定公因式前，應(yīng)從系數(shù)和因式兩個方面考慮。當(dāng)各項系數(shù)都是整數(shù)時，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項系數(shù)的最大公約數(shù)字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的。當(dāng)各項的系數(shù)有分?jǐn)?shù)時，公因式系數(shù)為各分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)。如果多項式的第一項為負(fù)，要提出負(fù)號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)成為正數(shù)。提出負(fù)號時，多項式的各項都要變號。

基本步驟：

(1)找出公因式；

(2)提公因式并確定另一個因式；

①找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)再確定字母；

②提公因式并確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另一個因式；

③提完公因式后，另一因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同。

口訣：找準(zhǔn)公因式，一次要提盡，全家都搬走，留1把家守，提負(fù)要變號，變形看奇偶。

公式法

如果把乘法公式的等號兩邊互換位置，就可以得到用于分解因式的公式，用來把某些具有特殊形式的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法。

分解公式：

1、平方差公式：

即兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積。

2、完全平方公式：

即兩個數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（或差）的平方。

注意：能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(shù)（或式）的平方和的形式，另一項是這兩個數(shù)（或式）的積的2倍。

口訣：首平方，尾平方，積的二倍放中央。同號加、異號減，符號添在異號前。

推廣：

(1)即三數(shù)和的平方，等于這三個數(shù)的平方和加上每兩項的積的2倍。

(2)即四數(shù)和的平方，等于這四個數(shù)的平方和加上每兩數(shù)的積的2倍。

即幾個數(shù)的和的平方，等于這幾個數(shù)的平方和加上每兩數(shù)的積的2倍。

3、立方和公式：

即兩數(shù)之和，乘它們的平方和與它們的積的差，等于這兩個數(shù)的立方和。

推廣：三項立方和公式：

即三數(shù)之和，乘它們的平方和與它們兩兩的積的差，等于這三個數(shù)的立方和減三數(shù)之積的三倍

變形：

4、立方差公式：

即兩數(shù)之差，乘它們的平方和與它們的積的和，等于這兩個數(shù)的立方差。

變形：

5、完全立方公式：

即兩數(shù)之和（差）的立方等于這兩個數(shù)的立方和（差）與每一個數(shù)的平方乘以另一個數(shù)3倍的和（和與差）。

十字相乘法

對于型的式子如果能分解為數(shù)的積，且有時（即a與b和是一次項的系數(shù)），那么；或?qū)τ谛偷氖阶尤绻?，，且有時，那么。這種分解因式的方法叫做十字相乘法。

注：與十字相乘法對應(yīng)的還有雙十字相乘法

具體方法：十字左邊相乘等于二次項系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項，交叉相乘再相加等于一次項。

口訣：分二次項，分常數(shù)項，交叉相乘求和得一次項。（拆兩頭，湊中間）

特點：

(1)二次項系數(shù)是1；

(2)常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；

(3)一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。

基本步驟：

(1)把二次項系數(shù)和常數(shù)項分別分解因數(shù)；

(2)嘗試十字圖，使經(jīng)過十字交叉線相乘后所得的數(shù)的和為一次項系數(shù)；

(3)確定合適的十字圖并寫出因式分解的結(jié)果；

(4)檢驗。

雙十字相乘法

對于某些二元二次六項式（x、y為未知數(shù)，其余都是常數(shù)），用兩次十字相乘法分解因式，這種分解因式的方法叫做雙十字相乘法。

步驟：

(1)用十字相乘法分解二次項（），得到一個十字相乘圖（有兩列）；

(2)把常數(shù)項f分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx．

(3)先以一個字母的一次系數(shù)分?jǐn)?shù)常數(shù)項；

(4)再按另一個字母的一次系數(shù)進(jìn)行檢驗；

(5)橫向相加，縱向相乘。

例：分解因式：x2 5xy 6y2 8x 18y 12．

解析：這是一個二次六項式，可考慮使用雙十字相乘法進(jìn)行因式分解。

解:

x2y2

x3y6

∴原式=(x 2y 2)(x 3y 6)

輪換對稱法

當(dāng)題目為一個輪換對稱式時，可用輪換對稱法進(jìn)行分解。

步驟：

（1）試根

把下列5個等式分別帶入原式，找出令原式等于0的那個等式。

1、x=0

2、x=y

3、x=-y

4、x=y z

5、x=-y-z

（2）輪換

1、若x=0使原式=0 原式必有因式xyz

2、若x=y使原式=0 原式必有因式（x-y）（y-z）（z-x）

3、若x=-y使原式=0 原式必有因式（x y）（y z）（z x）

4、若x=y z使原式=0 原式必有因式（x-y-z）（y-z-x）（z-x-y）

5、若x=-y-z使原式=0 原式必有因式（x y z）

（3）對比次數(shù)

用原式的次數(shù)減去必有因式的次數(shù)，然后再乘上差的次數(shù)的對應(yīng)的式子。（差幾次添幾次）

須添上的輪換對稱式：

1次：x y z

2次：x2 y2 z2、xy yz zx

3次：x3 y3 z3、x2y y2z z2x、xy2 yz2 zx2、xyz

（4）根據(jù)次數(shù)待定系數(shù)

在需要乘上的式子前加上字母，待定系數(shù)。

（5）算出待定的系數(shù)

用特值法及恒等式性質(zhì)算出待定的系數(shù)。

（6）得出答案

進(jìn)行檢驗，寫出答案。

例：分解因式：x2（y-z）3 y2（z-x）3 z2（x-y）3

解：x=y 原式=0

必有因式（x-y）（y-z）（z-x）

原式為五次式，（x-y）（y-z）（z-x）為三次式，則需要補(bǔ)上二次式

設(shè)補(bǔ)上a（x2 y2 z2） b（xy yz zx）

原式=（x-y）（y-z）（z-x）[a（x2 y2 z2） b（xy yz zx）]

特值法：

令x=1 y=2 z=3

x2（y-z）3 y2（z-x）3 z2（x-y）3=（x-y）（y-z）（z-x）[a（x2 y2 z2） b（xy yz zx）]

-1 32-9=（-1）·（-1）·2·（14a 11b）

22=28a 22b

14a 11b=11

令x=3 y=2 z=4

x2（y-z）3 y2（z-x）3 z2（x-y）3=（x-y）（y-z）（z-x）[a（x2 y2 z2） b（xy yz zx）]

-72 4 16=1·（-2）·1·（29a 26b）

-52=-58a-52b

29a 26b=26

解得a=0

b=1

原式=（x-y）（y-z）（z-x）（xy yz zx）

分組分解法

通過分組分解的方式來分解提公因式法和公式分解法無法直接分解的因式，這種分解因式的方法叫做分組分解法。能分組分解的多項式有四項或大于四項，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。

例1：因式分解ax ay bx by

解析：把a(bǔ)x和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。

解：ax ay bx by

=a(x y) b(x y)

=(a b)(x y)

或

ax ay bx by

=x(a b) y(a b)

=(a b)(x y)

例2：因式分解5ax 5bx 3ay 3by

解析：系數(shù)不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把5ax和5bx看成整體，把3ay和3by看成一個整體，利用乘法分配律輕松解出。

解：5ax 5bx 3ay 3by

=5x(a b) 3y(a b)

=(5x 3y)(a b)

例3：因式分解x2-x-y2-y

解析：利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a b)(a-b)，然后相合解決。

解：x2-x-y2-y

=(x2-y2)-(x y)

=(x y)(x-y)-(x y)

=(x y)(x-y-1)

例4：因式分解a2-b2-2bc-c2

解：a2-b2-2bc-c2

=a2-(b c)2

=(a-b-c)(a b c)

拆添項法

把多項式的某一項拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項（或幾項），使原式適合于提公因式法、運(yùn)用公式法或分組分解法進(jìn)行分解,這種分解因式的方法叫作拆添項法。要注意，必須在與原多項式相等的原則下進(jìn)行變形。

例：分解因式：x3-9x 8．

分析：本題解法很多，這里只介紹運(yùn)用拆項、添項法分解的幾種解法，注意一下拆項、添項的目的與技巧．

解法1：將常數(shù)項8拆成-1 9．

原式=x3-9x-1 9

=(x3-1)-9x 9

=(x-1)(x2 x 1)-9(x-1)

=(x-1)(x2 x-8)

解法2將一次項-9x拆成-x-8x．

原式=x3-x-8x 8

=(x3-x) (-8x 8)

=x(x 1)(x-1)-8(x-1)

=(x-1)(x2 x-8)

解法3將三次項x3拆成9x3-8x3．

原式=9x3-8x3-9x 8

=(9x3-9x) (-8x3 8)

=9x(x 1)(x-1)-8(x-1)(x2 x 1)

=(x-1)(x2 x-8)

解法4 添加兩項-x2 x2．

原式=x3-9x 8

=x3-x2 x2-9x 8

=x2(x-1) (x-8)(x-1)

=(x-1)(x2 x-8)

配方法

對于某些不能利用公式法的多項式，可以將其配成一個完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種分解因式的方法叫做配方法。屬于拆項、補(bǔ)項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進(jìn)行變形。

例：分解因式x2 3x-40

解：x2 3x-40

=x2 3x 2.25-42.25

=(x 1.5)2-(6.5)2

=(x 8)(x-5)．

主元法

在分解含多個字母的代數(shù)式時，選取其中一個字母為主元（未知數(shù)），將其它字母看成是常數(shù)，把代數(shù)式整理成關(guān)于主元的降冪排列（或升冪排列）的多項式，再嘗試用公式法、配方法、分組分解法等分解因式的方法進(jìn)行分解。這種分解因式的方法叫做主元法。

特殊值法

將2或10代入x，求出數(shù)p，將數(shù)p分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合，并將組合后的每一個因數(shù)寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。這種分解因式的方法叫做特殊值法。

待定系數(shù)法

在因式分解時，一些多項式經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時可以用一些字母來表示待定的系數(shù)。由于該多項式等于這幾個因式的乘積，根據(jù)多項式恒等的性質(zhì)，兩邊對應(yīng)項系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項式中原有字母的幾個特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程（或方程組），解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法。