解三角形，是指已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程。一般地，把三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素。

解三角形，常用到正弦定理和余弦定理和面積公式等。

定義

一般地，把三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素。

已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形。

意義

傳統(tǒng)的平面幾何學(xué)通常只能討論邊與邊、邊與面積、面積與面積、角與角之間的數(shù)量關(guān)系，卻無(wú)法討論角和邊、角和面積之間的數(shù)量關(guān)系。如果我們能夠討論角和邊之間的數(shù)量關(guān)系，然后討論邊與面積之間的數(shù)量關(guān)系，我們就可以討論角與面積之間的數(shù)量關(guān)系。對(duì)于角和邊之間的定量關(guān)系，雖然我們也有諸如“30°的角所對(duì)的直角邊為斜邊的一半”這樣的定理，再用勾股定理也可以求出60°的角所對(duì)的直角邊為斜邊的(根號(hào)3)/2倍，但這些都僅僅是針對(duì)“特殊值”加以討論，從而很難推廣到一般性（任意值）的討論。

由平面幾何知識(shí)可知，已知三角形的鄰邊a，b及其夾角C，根據(jù)“邊角邊定理”，第三邊c完全確定。從而，我們可以利用帶有a，b，C的表達(dá)式來(lái)表示c，即c＝f(a,b,C)。如何給出這個(gè)具體的表達(dá)式？數(shù)學(xué)上，通過(guò)定義三角函數(shù)，從而可以用含有角的表達(dá)式來(lái)表示邊。解三角形其實(shí)就是利用三角函數(shù)來(lái)表示任意三角形中邊與角的數(shù)量關(guān)系，于是可以求解出三角形中任意邊的長(zhǎng)度和任意角的大小。

解三角形，使許多特定幾何問(wèn)題的求解得以數(shù)量化。只要我們可以用式子表示出三角形邊和角（或者邊和面積）之間的數(shù)量關(guān)系，然后進(jìn)行三角函數(shù)化簡(jiǎn)或恒等變形，就可以求解或者證明一些幾何問(wèn)題，從而避免許多繁瑣的輔助線。并且，如何作輔助線并沒(méi)有一套通用的法則，需要因題而異。對(duì)于某些特定條件的題目，作輔助線需要很高的洞察力。

三角函數(shù)在物理學(xué)、工程、技術(shù)等領(lǐng)域也有廣泛的應(yīng)用。直接用含有角度的公式來(lái)表示相關(guān)的物理參量，通常會(huì)很方便，具有較高的可實(shí)踐性與可操作性，進(jìn)而針對(duì)許多具體的物理量只需一個(gè)公式就可以求解。

常用定理

正弦定理

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一個(gè)三角形中是恒量，R是此三角形外接圓的半徑）。

變形公式

（1）a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC

（2）sinA：sinB：sinC=a：b：c

（3）asinB=bsinA，asinC=csinA，bsinC=csinB

（4）sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R

面積公式（5）S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC S=1/2底·h（原始公式）

cosC=(a2 b2-c2)/2ab

cosB=(a2 c2-b2)/2ac

cosA=(c2 b2-a2)/2bc

三角形△ABC的內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理

AD為角A平分線與BC交點(diǎn)連線則AB/AC=BD/DC

余弦定理

a2=b2 c2-2bccosA

b2=a2 c2-2accosB

c2=a2 b2-2abcosC

注：勾股定理其實(shí)是余弦定理的一種特殊情況。

海倫-秦九韶公式

p=(a b c)/2（公式里的p為半周長(zhǎng)）

假設(shè)有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為a、b、c，三角形的面積S可由以下公式求得：

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

已知三條中線求面積

方法一：已知三條中線Ma,Mb,Mc，

則S=√[(Ma Mb Mc)*(Mb Mc-Ma)*(Mc Ma-Mb)*(Ma Mb-Mc)]/3；

方法二：已知三邊a，b，c；

則S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]；其中：p=(a b c)/2；

形狀判斷

b2 c2=a2 cosA=0 A=90° 直角

b2 c2<a2 cosA<0 A>90° 鈍角

b2 c2>a2 cosA>0 A<90° 銳角※a邊必須是最大邊

勾股定理

勾股定理只適用于直角三角形（外國(guó)叫“畢達(dá)哥拉斯定理”）

a2 b2=c2，其中a和b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。

勾股弦數(shù)是指一組能使勾股定理關(guān)系成立的三個(gè)正整數(shù)。比如：3，4，5。他們分別是3，4和5的倍數(shù)。

常見(jiàn)的勾股弦數(shù)有：3，4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，25；10，24，26等等。

解三角形

正弦定理

已知條件：一邊和兩角（如a、B、C,或a、A、B）

一般解法：由A B C=180°，求角A，由正弦定理求出b與c，在有解時(shí)，有一解。

余弦定理

已知條件：兩邊和夾角(如a、b、C）

一般解法：由余弦定理求第三邊c，由正弦定理求出小邊所對(duì)的角，再由A B C=180°求出另一角，在有解時(shí)有一解。

已知條件：三邊（如a、b、c）

一般解法：由余弦定理求出角A、B，再利用A B C=180°，求出角C在有解時(shí)只有一解。

正弦定理（或余弦定理）

已知條件：兩邊和其中一邊的對(duì)角（如a、b、A）

一般解法：由正弦定理求出角B，由A B C=180°求出角C，再利用正弦定理求出C邊，可有兩解、一解或無(wú)解。（或利用余弦定理求出c邊，再求出其余兩角B、C）①若a>b，則A>B有唯一解；②若b>a，且b>a>bsinA有兩解；③若a<bsinA則無(wú)解。