數(shù)學(xué)上，立體幾何(Solid geometry)是3維歐氏空間的幾何的傳統(tǒng)名稱—-因?yàn)閷?shí)際上這大致上就是我們生活的空間。一般作為平面幾何的后續(xù)課程。立體測(cè)繪(Stereometry)處理不同形體的體積的測(cè)量問題：圓柱，圓錐，錐臺(tái)，球，棱柱，楔， 瓶蓋等等。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就處理過球和正多面體，但是棱錐，棱柱，圓錐和圓柱在柏拉圖學(xué)派著手處理之前人們所知甚少。尤得塞斯(Eudoxus)建立了它們的測(cè)量法，證明錐是等底等高的柱體積的三分之一，可能也是第一個(gè)證明球體積和其半徑的立方成正比的。

基本課題

課題內(nèi)容

包括：

-面和線的重合

-二面角和立體角

-方塊，長(zhǎng)方體，平行六面體

-四面體和其他棱錐

-棱柱

-八面體，十二面體，二十面體

-圓錐，圓柱

-球

-其他二次曲面：回轉(zhuǎn)橢球，橢球，拋物面，雙曲面

公理：

立體幾何中有4個(gè)公理

公理1 如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。

公理2 過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

公理3 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。

公理4 平行于同一條直線的兩條直線平行。

三垂線定理

在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面的射影垂直。

1、三垂線定理描述的是PO(斜線)，AO(射影)，a(直線)之間的垂直關(guān)系。

2、a與PO可以相交，也可以異面。

3、三垂線定理的實(shí)質(zhì)是平面的一條斜線和平面內(nèi)的一條直線垂直的判定定理。

關(guān)于三垂線定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出平面(基準(zhǔn)面)的垂線。至于射影則是由垂足，斜足來確定的，因而是第二位的。從三垂線定理的證明得到證明a⊥b的一個(gè)程序：一垂，二射，三證。即

第一，找平面(基準(zhǔn)面)及平面垂線；

第二，找射影線，這時(shí)a，b便成平面上的一條直線與一條斜線；

第三，證明射影線與直線a垂直，從而得出a與b垂直。

注：

1.定理中四條線均針對(duì)同一平面而言；

2.應(yīng)用定理關(guān)鍵是找"基準(zhǔn)面"這個(gè)參照系。

用向量證明三垂線定理。

1.已知：PO，PA分別是平面α的垂線，斜線，OA是PA在α內(nèi)的射影，b∈α，且b⊥OA，求證：b⊥PA。

證明：∵PO⊥α，∴PO⊥b，又∵OA⊥b向量PA=（向量PO 向量OA）

∴向量PA乘以b=（向量PO 向量OA）乘以b=（向量PO乘以b）加（向量OA乘以b）=O，

∴PA⊥b。

2.已知：PO，PA分別是平面α的垂線，斜線，OA是PA在α內(nèi)的射影，b∈α，且b⊥PA，求證：b⊥OA。

證明：∵PO⊥α，∴PO⊥b，又∵PA⊥b，向量OA=（向量PA-向量PO）

∴向量OA乘以b=（向量PA-向量PO）乘以b=（向量PA乘以b）減 （向量PO乘以b ）=0，

∴OA⊥b。

3.已知三個(gè)平面OAB，OBC，OAC相交于一點(diǎn)O，∠AOB=∠BOC=∠COA=60°，求交線OA于平面OBC所成的角。

向量OA=（向量OB 向量AB），O是內(nèi)心，又因?yàn)锳B=BC=CA，所以O(shè)A于平面OBC所成的角是30°。

二面角

定義

平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形，叫做二面角。（這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面）

平面角

以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。

平面角是直角的二面角叫做直二面角。

兩個(gè)平面垂直的定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直。

大小范圍

范圍為：0≤θ≤π；

相交時(shí)0<θ<π，共面時(shí)θ=π或0。

求法

有六種：

1.定義法

2.垂面法

3.射影定理

4.三垂線定理

5.向量法

6.轉(zhuǎn)化法

二面角一般都是在兩個(gè)平面的相交線上，取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，經(jīng)常是端點(diǎn)和中點(diǎn)。過這個(gè)點(diǎn)分別在兩平面做相交線的垂線，然后把兩條垂線放到一個(gè)三角形中考慮。有時(shí)也經(jīng)常做兩條垂線的平行線，使他們?cè)谝粋€(gè)更理想的三角形中。

由公式S射影=S斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。運(yùn)用這一方法的關(guān)鍵是從圖中找出斜面多邊形和它在有關(guān)平面上的射影，而且它們的面積容易求得。

也可以用解析幾何的辦法，把兩平面的法向量n1，n2的坐標(biāo)求出來。然后根據(jù)n1·n2=|n1||n2|cosα，θ=α為兩平面的夾角。這里需要注意的是如果兩個(gè)法向量都是垂直平面，指向兩平面內(nèi)，所求兩平面的夾角θ=π-α。

二面角的通常求法：

（1）由定義作出二面角的平面角；

（2）作二面角棱的垂面，則垂面與二面角兩個(gè)面的交線所成的角就是二面角的平面角；

（3）利用三垂線定理（逆定理）作出二面角的平面角；

（4）空間坐標(biāo)求二面角的大小。

其中，（1）、（2）點(diǎn)主要是根據(jù)定義來找二面角的平面角，再利用三角形的正、余弦定理解三角形。

（3）中利用三垂線定理求二面角，如圖，前提條件是平面α與平面β的交線為l。直線AB垂直于平面β于B點(diǎn)，交α于A點(diǎn)，步驟是：

第一步，過B作BP垂直于l于P。

第二步，連接AP。則∠APB為二面角A-l-B的平面角。

第三步，求出∠APB的大小，即為二面角A-l-B的大小。

如果是利用三垂線逆定理，前提條件相同，步驟是：

第一步，過A作AP垂直于l與P。

第二步，連接BP。則∠APB為二面角A-l-B的平面角。

第三步，求出∠APB的大小，即為二面角A-l-B的大小。

基本步驟

（1）作出二面角的平面角：

A：利用等腰(含等邊)三角形底邊的中點(diǎn)作平面角；

B：利用面的垂線（三垂線定理或其逆定理）作平面角；

C：利用與棱垂直的直線，通過作棱的垂面作平面角；D：利用無棱二面角的兩條平行線作平面角。

（2）證明該角為平面角；

（3）歸納到三角形求角。

另外，也可以利用空間向量求出。

相關(guān)關(guān)系

二面角的大小就用它的“平面角”來度量。二面角的平面角大小數(shù)值就等于二面角的大小。

空間向量

向量描述

直線的方向向量：向量所在直線和直線平行或重合的向量叫做直線的方向向量。點(diǎn)的位置向量：選一點(diǎn)作為基點(diǎn)，空間中任意一點(diǎn)可用向量OP表示。

平面的法向量：如果α所在的直線垂直于平面β，那么α是β的法向量。

空間的角

直線所成的角：設(shè)直線m、n的方向向量為a、b，m，n所成的角為a。

cosa=cos<a,b>=a*b/|a||b|

直線和平面所成的角：設(shè)直線m的方向向量為a，平面e的法向量為c。

設(shè)b為m和e所成的角，則b=π/2±<a,c>，sinb=|cos<a,c>|=|a*c|/|a||c|

距離求解

異面直線的距離：l1、l2為異面直線，l1，l2公垂直線的方向向量為n，C、D為l1、l2上任意一點(diǎn)，l1到l2的距離為|AB|=|CD*n|/|n|

點(diǎn)到平面的距離：設(shè)PA為平面的一條斜線，O是P點(diǎn)在a內(nèi)的射影，PA和a所成的角為b，n為a的法向量。

易得：|PO|=|PA|sinb=|PA|*|cos<PA,n>|=|PA|*(|PA*n|/|PA||n|)=|PA*n|/|PA|

直線到平面的距離為在直線上一點(diǎn)到平面的距離；

平面到平面的距離為在平面上一點(diǎn)到平面的距離；

點(diǎn)到直線的距離：A∈l，O是P點(diǎn)在l上的射影，PA和l所成的角為b，s為l的方向向量。易得：

|PO|=|PA|*|sinb|=|PA|*|sin<PA,s>|=|(PA|^2|s|^2|-|PA*s|^2)^1/2/|s|

線面方程

定義

平面：在空間中，到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做平面。

直線：同時(shí)屬于兩個(gè)平面的點(diǎn)的軌跡。

或：在平面里，到兩個(gè)點(diǎn)距離相等的點(diǎn)。

方程

平面：根據(jù)定義，設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M（x，y，z），兩點(diǎn)分別為（a，b，c）和（d，e，f）

則[(x-a)^2 (y-b)^2 (z-c)^2]^1/2

=[(x-d)^2 (y-e)^2 (z-f)^2]^1/2x^2-2ax y^2-2by z^2-2cz(a^2 b^2 c^2)

=x^2-2dx y^2-2ey z^2-2fz (d^2 e^2 f^2)(2d-2a)x (2e-2b)y (2f-2c)z (a^2-d^2 b^2-e^2 c^2-f^2)

=0

形式為ax by cz d=0。

直線：根據(jù)定義，可列方程組：

ax by cz d=0

ex fy gz h=0

得其形式是：

x=jz k

y=lz m

線面求法

（1）三點(diǎn)式

則三點(diǎn)同時(shí)滿足

ax0 by0 cz0 d=0

ax1 by1 cz1 d=0

ax2 by2 cz2 d=0

可得出a-b-c-d的關(guān)系，再把d取特殊值，解方程。

（2）點(diǎn)線式

可在線上找兩個(gè)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化成三點(diǎn)式。

（3）雙線式（不異面）

可在兩個(gè)線上共找三個(gè)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化成三點(diǎn)式。得：ax by cz d=0

（4）線斜式

斜率：該平面和xOy平面的二面角的正切。

求法：設(shè)該平面為ax by cz d=0,xOy是z=0

即k=c/(a^2 b^2 c^2)且它通過y=kx b,z=lz a

根據(jù)判定，可得a-b-c-d的關(guān)系。再把d賦特殊值。

（5）兩點(diǎn)式

用待定系數(shù)法求出k,l,m,n的關(guān)系，再取特殊值。

向量求法

直線：截取直線l上兩點(diǎn)A（l,n,0）和B（k l,m n,1）方向向量為：AB=（k,m,1）

平面：取平面內(nèi)三點(diǎn)：A(0,0,-d/c)B(1,1,-(d b a)/c)C(0,2,-(d 2b)/c)

AC=(0,2,-2b/c)AB=(1,1,-(a b)/c)

設(shè)向量n：(x,y,c)為平面的法向量，則

2y-2b=0 x y-(a b)=0

y=b x=a

則n=(a,b,c)為平面的一個(gè)法向量。

直線平面的關(guān)系

直線和直線：

設(shè)設(shè)直線方程為x=k1z l1,y=m1z n1和x=k2z l2,y=m2z n2

相交：兩條直線所組成的方程組有實(shí)數(shù)解

平行：k1/k2=m1/m2且l1/l2≠n1/n2

異面：不相交也不平行

垂直：k1k2 m1m2=-1

直線和平面

設(shè)直線方程為x=kz b,y=lz a,平面方程為cx dy ez f=0,p=k l e,q=a b f

屬于：p=0,q=0

平行：p=0,q≠0

相交：p≠0

垂直：k/c=b/d=e

平面和平面

設(shè)平面方程為ax by cz d=0和ex fy gz h=0，p=a/e,q=b/f,r=c/g,s=d/h

相交:不平行

平行：p=q=r≠s

垂直：ae bf cg=0

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1.直線在平面內(nèi)的判定

(1)利用公理1：一直線上不重合的兩點(diǎn)在平面內(nèi)，則這條直線在平面內(nèi)。

(2)若兩個(gè)平面互相垂直，則經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，則AB∈α。

(3)過一點(diǎn)和一條已知直線垂直的所有直線，都在過此點(diǎn)而垂直于已知直線的平面內(nèi)，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，則a∈α。

(4)過平面外一點(diǎn)和該平面平行的直線，都在過此點(diǎn)而與該平面平行的平面內(nèi)，即若P∈α，P∈β，β平行α，P∈a,a∥α，則a∈β。

(5)如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么過這個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)與這條直線平行的直線必在這個(gè)平面內(nèi)，即若a//α,A∈α，A∈b,b∥a,則b∈α。

2.存在性和唯一性定理

(1)過直線外一點(diǎn)與這條直線平行的直線有且只有一條；

(2)過一點(diǎn)與已知平面垂直的直線有且只有一條；

(3)過平面外一點(diǎn)與這個(gè)平面平行的平面有且只有一個(gè)；

(4)與兩條異面直線都垂直相交的直線有且只有一條；

(5)過一點(diǎn)與已知直線垂直的平面有且只有一個(gè)；

(6)過平面的一條斜線且與該平面垂直的平面有且只有一個(gè)；

(7)過兩條異面直線中的一條而與另一條平行的平面有且只有一個(gè)；

(8)過兩條互相垂直的異面直線中的一條而與另一條垂直的平面有且只有一個(gè)。

3.射影及有關(guān)性質(zhì)

(1)點(diǎn)在平面上的射影：自一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫做這點(diǎn)在這個(gè)平面上的射影，點(diǎn)的射影還是點(diǎn)。

(2)直線在平面上的射影：自直線上的兩個(gè)點(diǎn)向平面引垂線，過兩垂足的直線叫做直線在這平面上的射影，和射影面垂直的直線的射影是一個(gè)點(diǎn)；不與射影面垂直的直線的射影是一條直線。

(3)圖形在平面上的射影：一個(gè)平面圖形上所有的點(diǎn)在一個(gè)平面上的射影的集合叫做這個(gè)平面圖形在該平面上的射影。當(dāng)圖形所在平面與射影面垂直時(shí)，射影是一條線段；當(dāng)圖形所在平面不與射影面垂直時(shí)，射影仍是一個(gè)圖形。

(4)射影的有關(guān)性質(zhì)：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中：(i)射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段也較長(zhǎng)；(ii)相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段的射影也較長(zhǎng)；(iii)垂線段比任何一條斜線段都短。

4.空間中的各種角等角定理及其推論定理

若一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，則這兩個(gè)角相等.推論若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，則這兩組直線所成的銳角(或直角)相等。異面直線所成的角

(1)定義：a、b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，分別引直線a′a,b′∥b,則a′和b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角。

(2)取值范圍：0°<θ≤90°.

(3)求解方法：根據(jù)定義，通過平移，找到異面直線所成的角θ；解含有θ的三角形，求出角θ的大小。

5.直線和平面所成的角

(1)定義：和平面所成的角有三種：(i)垂線 面所成的角的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。(ii)垂線與平面所成的角 直線垂直于平面，則它們所成的角是直角。(iii)一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°的角。

(2)取值范圍：0°≤θ≤90°

(3)求解方法：作出斜線在平面上的射影，找到斜線與平面所成的角θ.解含θ的三角形，求出其大小.最小角定理斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角，亦可說，斜線和平面所成的角不大于斜線與平面內(nèi)任何直線所成的角。

6.二面角及二面角的平面角

(1)半平面：直線把平面分成兩個(gè)部分，每一部分都叫做半平面。

(2)二面角：條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面組成.若兩個(gè)平面相交，則以兩個(gè)平面的交線為棱形成四個(gè)二面角。二面角的大小用它的平面角來度量，通常認(rèn)為二面角的平面角θ的取值范圍是0°<θ≤180°。

(3)二面角的平面角：以二面角棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線，這兩條射線所組成的角叫做二面角的平面角。二面角的平面角具有下列性質(zhì)：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB平面PCD。(ii)從二面角的平面角的一邊上任意一點(diǎn)(異于角的頂點(diǎn))作另一面的垂線，垂足必在平面角的另一邊(或其反向延長(zhǎng)線)上。(iii)二面角的平面角所在的平面與二面角的兩個(gè)面都垂直，即平面PCDα，平面PCDβ。③找(或作)二面角的平面角的主要方法：(i)定義法。(ii)垂面法。(iii)三垂線法。(iiii)根據(jù)特殊圖形的性質(zhì)。

(4)求二面角大小的常見方法：先找(或作)出二面角的平面角θ，再通過解三角形求得θ的值。利用面積射影定理S′=S·cosα其中S為二面角一個(gè)面內(nèi)平面圖形的面積，S′是這個(gè)平面圖形在另一個(gè)面上的射影圖形的面積，α為二面角的大小。利用異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式求二面角的大小。

7.空間的各種距離點(diǎn)到平面的距離

(1)定義：面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.

(2)求點(diǎn)面距離常用的方法：

1)直接利用定義求找到(或作出)表示距離的線段；抓住線段(所求距離)所在三角形解之。

2)利用兩平面互相垂直的性質(zhì).即如果已知點(diǎn)在已知平面的垂面上，則已知點(diǎn)到兩平面交線的距離就是所求的點(diǎn)面距離。

3)體積法其步驟是：在平面內(nèi)選取適當(dāng)三點(diǎn)，和已知點(diǎn)構(gòu)成三棱錐；求出此三棱錐的體積V和所取三點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積S；由V=S·h，求出h即為所求。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是不必作出垂線即可求點(diǎn)面距離。難點(diǎn)在于如何構(gòu)造合適的三棱錐以便于計(jì)算。

4)轉(zhuǎn)化法將點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為(平行)直線與平面的距離來求。

8.直線和平面的距離

(1)定義：一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離.

(2)求線面距離常用的方法：直接利用定義求證(或連或作)某線段為距離，然后通過解三角形計(jì)算之。將線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，然后運(yùn)用解三角形或體積法求解之。作輔助垂直平面，把求線面距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)線距離。

9.平行平面的距離

(1)定義：兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線。公垂線夾在兩個(gè)平行平面間的部分，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線段。兩個(gè)平行平面的公垂線段的長(zhǎng)度叫做這兩個(gè)平行平面的距離。

(2)求平行平面距離常用的方法：直接利用定義求證(或連或作)某線段為距離，然后通過解三角形計(jì)算之。把面面平行距離轉(zhuǎn)化為線面平行距離，再轉(zhuǎn)化為線線平行距離，最后轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線(面)距離，通過解三角形或體積法求解之。

10.異面直線的距離

(1)定義：與異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線。兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線的距離。任何兩條確定的異面直線都存在唯一的公垂線段。

(2)求兩條異面直線的距離常用的方法：（1）定義法題目所給的條件，找出(或作出)兩條異面直線的公垂線段，再根據(jù)有關(guān)定理、性質(zhì)求出公垂線段的長(zhǎng)。此法一般多用于兩異面直線互相垂直的情形。（2）轉(zhuǎn)化法：為以下兩種形式：線面距離面面距離③等體積法④最值法⑤射影法⑥公式法。

定理口訣

點(diǎn)線面三位一體，柱錐臺(tái)球?yàn)榇?。距離都從點(diǎn)出發(fā)，角度皆為線線成。

垂直平行是重點(diǎn)，證明須弄清概念。線線線面和面面、三對(duì)之間循環(huán)現(xiàn)。

方程思想整體求，化歸意識(shí)動(dòng)割補(bǔ)。計(jì)算之前須證明，畫好移出的圖形。

立體幾何輔助線，常用垂線和平面。射影概念很重要，對(duì)于解題最關(guān)鍵。

異面直線二面角，體積射影公式活。公理性質(zhì)三垂線，解決問題一大片。