開(kāi)普勒定律

①橢圓定律：所有行星繞太陽(yáng)的軌道都是橢圓，太陽(yáng)在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。

②面積定律：行星和太陽(yáng)的連線在相等的時(shí)間間隔內(nèi)掃過(guò)的面積相等。

③調(diào)和定律：所有行星繞太陽(yáng)一周的恒星時(shí)間()的平方與它們軌道半長(zhǎng)軸(ai)的立方成比例，即。

此后，學(xué)者們把第一定律修改成為：所有行星（和彗星）的軌道都屬于圓錐曲線，而太陽(yáng)則在它們的一個(gè)焦點(diǎn)上。第二定律只在行星質(zhì)量比太陽(yáng)質(zhì)量小得多的情況下才是精確的。如果考慮到行星也吸引太陽(yáng)，這便是一個(gè)二體問(wèn)題。經(jīng)過(guò)修正后的第三定律的精確公式為：（式中m1和m2為兩個(gè)行星的質(zhì)量；ma為太陽(yáng)的質(zhì)量）。

數(shù)學(xué)推導(dǎo)

開(kāi)普勒定律是關(guān)于行星環(huán)繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)，而牛頓定律更廣義的是關(guān)于幾個(gè)粒子因萬(wàn)有引力相互吸引而產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)。在只有兩個(gè)粒子，其中一個(gè)粒子超輕于另外一個(gè)粒子，這些特別狀況下，輕的粒子會(huì)環(huán)繞重的粒子移動(dòng)，就好似行星根據(jù)開(kāi)普勒定律環(huán)繞太陽(yáng)的移動(dòng)。然而牛頓定律還容許其它解答，行星軌道可以呈拋物線運(yùn)動(dòng)或雙曲線運(yùn)動(dòng)。這是開(kāi)普勒定律無(wú)法預(yù)測(cè)到的。在一個(gè)粒子并不超輕于另外一個(gè)粒子的狀況下，依照廣義二體問(wèn)題的解答，每一個(gè)粒子環(huán)繞它們的共同質(zhì)心移動(dòng)。這也是開(kāi)普勒定律無(wú)法預(yù)測(cè)到的。

開(kāi)普勒定律，或者是用幾何語(yǔ)言，或者是用方程，將行星的坐標(biāo)及時(shí)間跟軌道參數(shù)相連結(jié)。牛頓第二定律是一個(gè)微分方程。開(kāi)普勒定律的導(dǎo)引涉及解微分方程的藝術(shù)。我們會(huì)先導(dǎo)引開(kāi)普勒第二定律，因?yàn)殚_(kāi)普勒第一定律的導(dǎo)引必須建立于開(kāi)普勒第二定律。

數(shù)學(xué)證明

第一定律的證明

設(shè)定

這樣，角速度是

對(duì)時(shí)間微分和對(duì)角度微分有如下關(guān)系：

根據(jù)上述關(guān)系，徑向距離 對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為：

再求一次導(dǎo)數(shù)：

代入徑向運(yùn)動(dòng)方程 ，

將此方程除以 ，則可得到一個(gè)簡(jiǎn)單的常系數(shù)非齊次線性全微分方程來(lái)描述行星軌道：

為了解這個(gè)微分方程，先列出一個(gè)特解

再求解剩余的常系數(shù)齊次線性全微分方程，

它的解為

這里， 與 是常數(shù)。合并特解和與齊次方程解，可以得到通解

選擇坐標(biāo)軸，讓 。代回 ，

其中， 是離心率。

這是圓錐曲線的極坐標(biāo)方程，坐標(biāo)系的原點(diǎn)是圓錐曲線的焦點(diǎn)之一。假若 ，則 所描述的是橢圓軌道。這證明了開(kāi)普勒第一定律。

第二定律的證明

開(kāi)普勒第二定律是這么說(shuō)的：在相等的時(shí)間內(nèi)，行星與恒星的連線掃過(guò)的面積相等。O為恒星，直線AC為行星不受引力時(shí)的軌跡。設(shè)行星從A到B、從B到C所用的時(shí)間間隔Δt相等，A處的時(shí)刻為t1，B為t2，C為t3。假設(shè)行星不受O的引力作用，那么這時(shí)掃過(guò)的面積SΔABO和SΔBCO相等（等底同高）。行星受到引力作用了，因?yàn)橐Φ姆较驎r(shí)刻指向恒星，所以在從t1到t3這段

時(shí)間里，行星所受的引力的方向的總效果應(yīng)該沿著B(niǎo)O方向（這需要一點(diǎn)向量的知識(shí)）。因此，t3時(shí)刻行星的位置C’應(yīng)該由兩個(gè)向量相加而得到：向量AC 向量CC’（作CC’平行于BO，因此沿BO方向的向量等價(jià)于CC’）。這樣，SΔBCO=SΔBC’O(同底等高)。因此，SΔBC’O=SΔABO。因?yàn)棣是任取的，所以在相等的時(shí)間內(nèi)，行星與恒星的連線掃過(guò)的面積相等。

第三定律的證明

在圖中，A，B分別為行星運(yùn)動(dòng)的近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)，以 和 分別表示行星在該點(diǎn)的速度，由于速度沿軌道切線方向，可見(jiàn) 和 的方向均與此橢圓的長(zhǎng)軸垂直，則行星在此兩點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)的面積速度分別為

……………………………………{1}

根據(jù)開(kāi)普勒第二定律，應(yīng)有 ，因此得

……………………………………………{2}

行星運(yùn)動(dòng)的總機(jī)械能E等于其動(dòng)能與勢(shì)能之和，則當(dāng)他經(jīng)過(guò)近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)，其機(jī)械能應(yīng)分別為

…………{3}

根據(jù)機(jī)械能守恒，應(yīng)有 ，故得

……………………{4}

由{2}{4}兩式可解得

………………………………{5}

由{5}式和{1}式得面積速度為

橢圓的面積為 ,則得此行星運(yùn)動(dòng)周期為

…………………………{6}

將{6}式兩邊平方，便得

注： 是半長(zhǎng)軸， 是半短軸， 是半焦距

適用范圍

開(kāi)普勒第二定律

開(kāi)普勒定律適用于宇宙中一切繞心的天體運(yùn)動(dòng)。在宏觀低速天體運(yùn)動(dòng)領(lǐng)域具有普遍意義。對(duì)于高速的天體運(yùn)動(dòng)，開(kāi)普勒定律提供了其回歸低速狀態(tài)的方程。

也就是說(shuō)，開(kāi)普勒第二定律及其引出的推論，不僅適用繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)的所有行星，也適用于以行星為中心的衛(wèi)星，還適用于單顆行星或衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn)行的情況。

僅適用于宏觀低速運(yùn)動(dòng)的天體。提出的時(shí)候并沒(méi)有給出嚴(yán)格的證明，但是為后來(lái)許多定律的證明奠定了基礎(chǔ)。

開(kāi)普勒第三定律

開(kāi)普勒定律是一個(gè)普適定律，適用于一切二體問(wèn)題。開(kāi)普勒定律不僅適用于太陽(yáng)系，他對(duì)具有中心天體的引力系統(tǒng)（如行星-衛(wèi)星系統(tǒng)）和雙星系統(tǒng)都成立。圍繞同一個(gè)中心天體運(yùn)動(dòng)的幾個(gè)天體，它們軌道半徑三次方與周期的平方的比值（R^3/T^2）都相等，為（GM/4π^2），為中心天體質(zhì)量。這個(gè)比值是一個(gè)與行星無(wú)關(guān)的常量，只與中心體質(zhì)量有關(guān)，那么M相同是這個(gè)比值相同。

發(fā)展簡(jiǎn)史

發(fā)現(xiàn)背景

開(kāi)普勒定律是開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)的關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的定律。他于1609年在他出版的《新天文學(xué)》上發(fā)表了關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的兩條定律，又于1618年，發(fā)現(xiàn)了第三條定律。 開(kāi)普勒很幸運(yùn)地能夠得到著名丹麥天文學(xué)家第谷·布拉赫20多年所觀察與收集的非常精確的天文資料。大約于1605年，根據(jù)布拉赫的行星位置資料，沿用哥白尼的勻速圓周運(yùn)動(dòng)理論，通過(guò)4年的計(jì)算發(fā)現(xiàn)第谷觀測(cè)到的數(shù)據(jù)與計(jì)算有8’的誤差，開(kāi)普勒?qǐng)?jiān)信第谷的數(shù)據(jù)是正確的，從而他對(duì)“完美”的神運(yùn)動(dòng)（勻速圓周運(yùn)動(dòng)）發(fā)起質(zhì)疑，經(jīng)過(guò)近6年的大量計(jì)算，開(kāi)普勒得出了第一定律和第二定律，又經(jīng)過(guò)10年的大量計(jì)算，得出了第三定律。開(kāi)普勒的定律給予亞里士多德派與托勒密派在天文學(xué)與物理學(xué)上極大的挑戰(zhàn)。他主張地球是不斷地移動(dòng)的；行星軌道不是周轉(zhuǎn)圓（epicycle）的，而是橢圓形的；行星公轉(zhuǎn)的速度不等恒。這些論點(diǎn)，大大地動(dòng)搖了當(dāng)時(shí)的天文學(xué)與物理學(xué)。經(jīng)過(guò)了幾乎一世紀(jì)披星戴月，廢寢忘食的研究，物理學(xué)家終于能夠用物理理論解釋其中的道理。牛頓利用他的第二定律和萬(wàn)有引力定律，在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格地證明開(kāi)普勒定律，也讓人們了解其中的物理意義。

行星軌道

太陽(yáng)是宇宙的中心，地球和其他行星一樣繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)，16世紀(jì)天文學(xué)家哥白尼以其大膽的洞察力，提出了太陽(yáng)系這一引領(lǐng)時(shí)代的全新理論，從而帶來(lái)了一場(chǎng)科技革命。但是直到半個(gè)世紀(jì)后，德國(guó)數(shù)學(xué)家開(kāi)普勒利用丹麥天文學(xué)家布第谷·布拉赫提供的觀察數(shù)據(jù)，才繪制出了第一張精確的太陽(yáng)系地圖。開(kāi)普勒的辛勞鞏固了哥白尼的理論。他孤軍奮戰(zhàn)，終于用第谷·布拉赫的觀察數(shù)據(jù)，準(zhǔn)確闡述了行星的運(yùn)動(dòng)。在有生之年，他的成就沒(méi)有得到承認(rèn)，但他的洞察力仍然是現(xiàn)代宇宙理論的基礎(chǔ)。

開(kāi)普勒

開(kāi)普勒（JohannesKepler，1571-1630），德國(guó)天文學(xué)家。開(kāi)普勒于1571年12月27日出生在一個(gè)德國(guó)小市民家庭。他一來(lái)到人世間就遭到了許多不幸，天花使他成了麻子，猩紅熱弄壞了他的雙眼。

17歲那年，開(kāi)普勒進(jìn)入了連蒂賓根大學(xué)學(xué)習(xí)，攻讀神學(xué)，1591年他獲得了神學(xué)碩士學(xué)位。但因父親負(fù)債累累，使他不得不中途退學(xué)。由于他體弱多病，他的父母認(rèn)為他只適合做一名牧師，因?yàn)檫@個(gè)職業(yè)輕松一些?？墒情_(kāi)普勒的數(shù)學(xué)才華非常出眾，當(dāng)他了解到一些有關(guān)自然科學(xué)的理論之后，就把當(dāng)牧師的想法拋得一干二凈，終于在奧地利的一所大學(xué)里教了自然科學(xué)。

1600年，30歲的開(kāi)普勒貿(mào)然給素不相識(shí)的丹麥天文學(xué)家第谷寫(xiě)信。他把自己研究天文學(xué)的成果和想法告訴了第谷。第谷看后，對(duì)開(kāi)普勒的才華驚嘆不已，立即寫(xiě)信邀請(qǐng)他來(lái)當(dāng)自己的助手。但是開(kāi)普勒來(lái)到第谷的身邊僅10個(gè)月，老人便去世了。開(kāi)普勒繼承了這位老人留下的非常寶貴的資料，其中包括老人對(duì)火星運(yùn)動(dòng)的觀測(cè)。

開(kāi)普勒利用第谷多年積累的觀測(cè)資料，仔細(xì)分析研究，發(fā)現(xiàn)了行星沿橢圓軌道運(yùn)行，并且提出行星運(yùn)動(dòng)三定律（即開(kāi)普勒定律），為牛頓發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力定律打下了基礎(chǔ)。

在第谷的工作基礎(chǔ)上，開(kāi)普勒經(jīng)過(guò)大量的計(jì)算，編制成《魯?shù)婪蛐潜怼?，表中列出?005顆恒星的位置。這個(gè)星表比其他星表要精確得多，因此直到十八世紀(jì)中葉，《魯?shù)婪蛐潜怼啡匀槐惶煳膶W(xué)家和航海家們視為珍寶，它的形式幾乎沒(méi)有改變地保留到今天。

開(kāi)普勒主要著作有《宇宙的神秘》、《光學(xué)》、《宇宙和諧論》、《哥白尼天文學(xué)概要》、《彗星論》和《稀奇的1631年天象》等。其中，在《宇宙和諧論》中，開(kāi)普勒找到了最簡(jiǎn)單的世界體系，只需7個(gè)橢圓就可以描述天體運(yùn)動(dòng)的體系了；在《彗星論》中，他指出彗星的尾巴總是背著太陽(yáng)，是因?yàn)樘?yáng)排斥彗頭的物質(zhì)造成的，這是距今半個(gè)世紀(jì)以前對(duì)輻射壓力存在的正確預(yù)言；此外，開(kāi)普勒還發(fā)現(xiàn)了大氣折射的近似定律。為了紀(jì)念開(kāi)普勒的功績(jī)，國(guó)際天文學(xué)聯(lián)合會(huì)決定將1134號(hào)小行星命名為開(kāi)普勒小行星。

發(fā)現(xiàn)過(guò)程

1601年，第谷逝世。約翰·開(kāi)普勒接替了第谷的工作，開(kāi)始編制魯?shù)婪蛐潜?。但開(kāi)普勒的興趣和注意力卻更多的放在改進(jìn)和完善哥白尼的日心說(shuō)上，在探討行星軌道性質(zhì)的研究上。他發(fā)現(xiàn)第谷的觀測(cè)數(shù)據(jù)，與哥白尼體系、托勒密體系都不符合。他決心尋找這種不一致的原因和行星運(yùn)行的真實(shí)軌道。

最初的研究從觀測(cè)與理論差異突出的火星著手。他運(yùn)用傳統(tǒng)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)加偏心圓來(lái)計(jì)算，均遭到失敗。經(jīng)過(guò)長(zhǎng)達(dá)4年近70次各種行星軌道形狀設(shè)計(jì)方案的計(jì)算，開(kāi)普勒認(rèn)識(shí)到哥白尼體系的勻速圓周運(yùn)動(dòng)和偏心圓的軌道模式與火星的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌道不符。于是他大膽的拋棄了統(tǒng)治人類思想達(dá)2000年之久的“勻速圓周運(yùn)動(dòng)”偏見(jiàn)，嘗試用別的幾何曲線來(lái)表示火星軌道的形狀。他認(rèn)為行星運(yùn)動(dòng)軌道的焦點(diǎn)應(yīng)該在產(chǎn)生引力中心的太陽(yáng)上，并進(jìn)而斷定火星運(yùn)動(dòng)的線速度不是勻速的，近太陽(yáng)時(shí)快些，遠(yuǎn)太陽(yáng)時(shí)慢些并得出結(jié)論：太陽(yáng)至火星的直徑在一天內(nèi)掃過(guò)的面積是相等的。開(kāi)普勒把這結(jié)論推廣到其他行星上，結(jié)果也是與觀測(cè)數(shù)據(jù)相符。就這樣，他首先得到了行星運(yùn)行的等面積定律。隨后他發(fā)現(xiàn)火星運(yùn)行的軌道不是正圓，而是焦點(diǎn)位于太陽(yáng)上的橢圓，他把這結(jié)論應(yīng)用于其他行星也是適用的。于是他又得到了行星運(yùn)行的橢圓軌道定律。這兩條定律發(fā)表在他1609年出版的《新天文學(xué)》一書(shū)上。但他對(duì)自已取得的成就還不滿足。他渴望找到一種能適合所有行星的總體模式，把各行星聯(lián)系在一起。他堅(jiān)信存在著一個(gè)把全體行星完整地聯(lián)系在一起的簡(jiǎn)單法則。

在這個(gè)信念鼓舞下，開(kāi)普勒忍受著個(gè)人在家庭方面遭受的巨大不幸，在很少有人了解和支持的困難條件下，經(jīng)過(guò)九年的反復(fù)計(jì)算和假設(shè)，終于在1618年找到在大量觀測(cè)數(shù)據(jù)后面隱匿的數(shù)的和諧性：行星公轉(zhuǎn)周期的平方與它們到太陽(yáng)的平均距離的立方成正比。這就是周期定律。1619年，他在《宇宙的和諧》一書(shū)中介紹了第三定律，他情不自禁地寫(xiě)道："認(rèn)識(shí)到這一真理，這是超出我的最美好的期望的。大局已定，這本書(shū)是寫(xiě)出來(lái)了，可能當(dāng)代有人閱讀，也可能是供后人閱讀的。它很可能要等一個(gè)世紀(jì)才有信奉者一樣，這一點(diǎn)我不管了。"

開(kāi)普勒的三定律是天文學(xué)的又一次革命，它徹底摧毀了托勒密繁雜的本輪宇宙體系，完善和簡(jiǎn)化了哥白尼的日心宇宙體系。開(kāi)普勒對(duì)天文學(xué)最大的貢獻(xiàn)在于他試圖建立天體動(dòng)力學(xué)，從物理基礎(chǔ)上解釋太陽(yáng)系結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)原因。雖然他提出有關(guān)太陽(yáng)發(fā)出的磁力驅(qū)使行星作軌道運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的。但它對(duì)后人尋找出太陽(yáng)系結(jié)構(gòu)的奧秘具有重大的啟發(fā)意義，為經(jīng)典力學(xué)的建立、牛頓的萬(wàn)有引力定律的發(fā)現(xiàn)，都作出重要的提示。

被稱為“星子之王”的第谷·布拉赫在天體觀測(cè)方面獲得不少成就，死后留下20多年的觀測(cè)資料和一份精密星表。他的助手開(kāi)普勒利用了這些觀測(cè)資料和星表，進(jìn)行新星表編制。然而工作伊始便遇到了困難，按照正圓軌道來(lái)編制火星運(yùn)行表一直行不通，火星這個(gè)“狡猾家伙”總不聽(tīng)指揮，老愛(ài)越軌。經(jīng)過(guò)一次次分析計(jì)算，開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)，如果火星軌道不是正圓，而是橢圓，那么矛盾不就煙消云散了嗎。經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期細(xì)致而復(fù)雜計(jì)算以后，他終于發(fā)現(xiàn)：行星在通過(guò)太陽(yáng)的平面內(nèi)沿橢圓軌道運(yùn)行，太陽(yáng)位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。這就是行星運(yùn)動(dòng)第一定律，又叫“軌道定律”。

當(dāng)開(kāi)普勒繼續(xù)研究時(shí)，“詭譎多端”的火星又將他騙了。原來(lái)，開(kāi)普勒和前人都把行星運(yùn)動(dòng)當(dāng)作等速來(lái)研究的。他按照這一方法苦苦計(jì)算了1年，卻仍得不到結(jié)果。后來(lái)他發(fā)現(xiàn)，在橢圓軌道上運(yùn)行的行星速度不是常數(shù)，而是在相等時(shí)間內(nèi)，行星與太陽(yáng)的連線所掃過(guò)的面積相等。這就是行星運(yùn)動(dòng)第二定律，又叫“面積定律”。

開(kāi)普勒又經(jīng)過(guò)9年努力，找到了行星運(yùn)動(dòng)第三定律：太陽(yáng)系內(nèi)所有行星公轉(zhuǎn)周期的平方同行星軌道半長(zhǎng)徑的立方之比為一常數(shù)，這一定律也叫“調(diào)和定律”。

定律影響

首先，開(kāi)普勒定律在科學(xué)思想上表現(xiàn)出無(wú)比勇敢的創(chuàng)造精神。遠(yuǎn)在哥白尼創(chuàng)立日心宇宙體系之前，許多學(xué)者對(duì)于天動(dòng)地靜的觀念就提出過(guò)不同見(jiàn)解。但對(duì)天體遵循完美的均勻圓周運(yùn)動(dòng)這一觀念，從未有人敢懷疑。開(kāi)普勒卻毅然否定了它。這是個(gè)非常大膽的創(chuàng)見(jiàn)。哥白尼知道幾個(gè)圓合并起來(lái)就可以產(chǎn)生橢圓，但他從來(lái)沒(méi)有用橢圓來(lái)描述過(guò)天體的軌道。正如開(kāi)普勒所說(shuō)，“哥白尼沒(méi)有覺(jué)察到他伸手可得的財(cái)富”。

其次，開(kāi)普勒定律徹底摧毀了托勒密的本輪系，把哥白尼體系從本輪的桎梏下解放出來(lái)，為它帶來(lái)充分的完整和嚴(yán)謹(jǐn)。哥白尼拋棄古希臘人的一個(gè)先入之見(jiàn)，即天與地的本質(zhì)差別，獲得一個(gè)簡(jiǎn)單得多的體系。但它仍須用三十幾個(gè)圓周來(lái)解釋天體的表觀運(yùn)動(dòng)。開(kāi)普勒卻找到最簡(jiǎn)單的世界體系，只用七個(gè)橢圓說(shuō)就全部解決了。從此，不須再借助任何本輪和偏心圓就能簡(jiǎn)單而精確地推算行星的運(yùn)動(dòng)。

第三，開(kāi)普勒定律使人們對(duì)行星運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識(shí)得到明晰概念。它證明行星世界是一個(gè)勻稱的（即開(kāi)普勒所說(shuō)的“和諧”）系統(tǒng)。這個(gè)系統(tǒng)的中心天體是太陽(yáng)，受來(lái)自太陽(yáng)的某種統(tǒng)一力量所支配。太陽(yáng)位于每個(gè)行星軌道的焦點(diǎn)之一。行星公轉(zhuǎn)周期決定于各個(gè)行星與太陽(yáng)的距離，與質(zhì)量無(wú)關(guān)。而在哥白尼體系中，太陽(yáng)雖然居于宇宙“中心”，卻并不扮演這個(gè)角色，因?yàn)闆](méi)有一個(gè)行星的軌道中心是同太陽(yáng)相重合的。

由于利用前人進(jìn)行的科學(xué)實(shí)驗(yàn)和記錄下來(lái)的數(shù)據(jù)而作出科學(xué)發(fā)現(xiàn)，在科學(xué)史上是不少的。但像行星運(yùn)動(dòng)定律的發(fā)現(xiàn)那樣，從第谷的20余年辛勤觀測(cè)到開(kāi)普勒長(zhǎng)期的精心推算，道路如此艱難，成果如此輝煌的科學(xué)合作，則是罕見(jiàn)的。這一切都是在沒(méi)有望遠(yuǎn)鏡的條件下得到的！