1 1=2（one plus one equals two），是初等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)的數(shù)值計算等式。

數(shù)的出現(xiàn)

早在蒙昧?xí)r代，人們就在對獵物的儲藏與分配等活動中，逐漸產(chǎn)生了數(shù)的感覺。當(dāng)一個原始人面對放在一起的3只羊、3個蘋果或3支箭時，他會朦朧地意識到其中有一種共性?？梢韵胂?，他此時會是多么地驚訝。但是，從這種原始的感覺到抽象的“數(shù)”的概念的形成，卻經(jīng)過了極其漫長的時間。

一般認為，自然數(shù)的概念的形成可能與火的使用一樣古老，至少有著30萬年的歷史。我們無法考證，人類究竟在什么時候發(fā)明了加法，因為那時沒有足夠詳細的文獻記錄（也許文字也剛剛誕生）。但加法的出現(xiàn)無疑是為了在交換商品或戰(zhàn)俘時進行運算。至于乘法和除法，則必定是在加減法的基礎(chǔ)上搞出來的。而分數(shù)應(yīng)該是出于分割物體的需要。

應(yīng)該說，當(dāng)某個原始人第一個意識到1 1=2，進而認識到兩個數(shù)相加得到另一個確定的數(shù)時，這一刻是人類文明的偉大時刻，因為他發(fā)現(xiàn)了一個非常重要的性質(zhì)——可加性。這個性質(zhì)及其推廣正是數(shù)學(xué)的全部根基，它甚至說出數(shù)學(xué)為什么用途廣泛的同時，告訴我們數(shù)學(xué)的局限性。

人們知道，世界上存在三類不同的事物。一類是完全滿足可加性的量。比如質(zhì)量，容器里的氣體總質(zhì)量總是等于每個氣體分子質(zhì)量之和。對于這些量，1 1=2是完全成立的。

第二類是僅僅部分滿足可加性的的量。比如溫度，如果把兩個容器的氣體合并在一起，則合并后氣體的溫度就是原來氣體各自溫度的加權(quán)平均（這是一種廣義的“相加”）。但這里就有一個問題：溫度這個量不是完全滿足可加性的，因為單個分子沒有溫度。

世界上還有一些事物，他們是徹底拒絕可加性的，比如生命世界里的神經(jīng)元。我們可以將容器里的分子分到兩個容器，使得每個容器里的氣體仍然保持有宏觀量——溫度、壓強等。但是，我們對神經(jīng)元不能這樣做。我們每個人都會產(chǎn)生幸福、痛苦之類的感覺。生物學(xué)告訴我們，這些感覺是由神經(jīng)元產(chǎn)生的。但是，我們卻不能說，某個神經(jīng)元會產(chǎn)生多少幸福或痛苦。不僅每個神經(jīng)元并不具備這種性質(zhì)，而且我們也不能將大腦劈成兩半，使得每個半球都有幸福或者痛苦感。神經(jīng)元不是分子——分子可以隨時分開或者重組，神經(jīng)元具有協(xié)調(diào)性，一旦將他們分開，生命就會終結(jié)，不可能再組合。

哥德巴赫猜想

數(shù)學(xué)上，還有另一個非常有名的“（1 1）”，它就是著名的哥德巴赫猜想。盡管聽起來很神秘，但它的題面并不費解，只要具備小學(xué)三年級的數(shù)學(xué)水平就就能理解其含義。原來，這是18世紀時，德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫偶然發(fā)現(xiàn)，每個不小于6的偶數(shù)都是兩個奇素數(shù)之和。例如3 3=6；11 13=24。他試圖證明自己的發(fā)現(xiàn)，卻屢戰(zhàn)屢敗。1742年，無可奈何的哥德巴赫只好求助當(dāng)時世界上最有權(quán)威的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，提出了自己的猜想。歐拉很快回信說，這個猜想肯定成立，但他無法證明。

有人立即對一個個大于6的偶數(shù)進行了驗算，一直算到了330000000，結(jié)果都表明哥德巴赫猜想是對的，但就是不能證明。于是這道每個不小于6的偶數(shù)都是兩素數(shù)之和[簡稱（1 1）]的猜想，就被稱為“哥德巴赫猜想”，成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可即的“明珠”。

1956年底，已先后寫了四十多篇論文的數(shù)學(xué)家陳景潤調(diào)到科學(xué)院，開始在華羅庚教授指導(dǎo)下專心研究數(shù)論。1966年5月，他像一顆璀璨的明星升上了數(shù)學(xué)的天空，宣布他已經(jīng)證明了（1 2），即“充分大的偶數(shù)都能表示為一個素數(shù)及一個不超過二個素數(shù)的積之和”。

1973年，關(guān)于（1 2）的簡化證明發(fā)表了，他的論文轟動了全世界數(shù)學(xué)界。他的成果被國際公認為“陳景潤定理”，也叫“陳氏定理”。

陳景潤(1933.5-1996.3)是中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)家。1933年5月22日生于福建省福州市。1953年畢業(yè)于廈門大學(xué)數(shù)學(xué)系。由于他對塔里問題的一個結(jié)果作了改進，受到華羅庚的重視，被調(diào)到中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所工作，先任實習(xí)研究員、助理研究員，再越級提升為研究員，并當(dāng)選為中國科學(xué)院數(shù)學(xué)物理學(xué)部委員。

1996年3月19日13時10分，因肺炎并發(fā)癥逝世，享年62歲。

皮亞諾公理

皮亞諾公理，也稱皮亞諾公設(shè)，是數(shù)學(xué)家皮亞諾(皮阿羅)提出的關(guān)于自然數(shù)的五條公理系統(tǒng)。根據(jù)這五條公理可以建立起一階算術(shù)系統(tǒng)，也稱皮亞諾算術(shù)系統(tǒng)。

皮亞諾的這五條公理用非形式化的方法敘述如下：

①0是自然數(shù)；

②每一個確定的自然數(shù)a，都有一個確定的后繼數(shù)x'，x'也是自然數(shù)（一個數(shù)的后繼數(shù)就是緊接在這個數(shù)后面的數(shù)，例如，1的后繼數(shù)是2，2的后繼數(shù)是3等等）；

③如果b、c都是自然數(shù)a的后繼數(shù)，那么b=c；

④0不是任何自然數(shù)的后繼數(shù)；

⑤設(shè)S是自然數(shù)集的一個子集，且（1）0屬于S；（2）如果n屬于S，那么n'也屬于S。

(這條公理也叫歸納公理，保證了數(shù)學(xué)歸納法的正確性)

更正式的定義如下：一個戴德金-皮亞諾結(jié)構(gòu)是這樣的一個三元組(X,x,f)，其中X是一個集合，x為X中一個元素，f是X到自身的映射，且符合以下條件：

x不在f的值域內(nèi)；

f為一個單射；

若x∈A且"a∈A蘊涵f(a)∈A"，則A=X。

該結(jié)構(gòu)所引出的關(guān)于自然數(shù)集合的基本假設(shè):

1.N(自然數(shù)集)不是空集；

2.N到N內(nèi)存在a→a'的一一映射；

3.后繼元素映射的像的集合是N的真子集，事實上即N{1}(或N{0})；

4.若N的子集P既含有非后繼元素的元素，又有含有子集中每個元素的后繼元素，則此子集與N相等。

1 1的證明：

∵1 1的后繼數(shù)是1的后繼數(shù)的后繼數(shù)，即3，

∴2的后繼數(shù)是3。

根據(jù)皮亞諾公理③，可得：1 1=2。

偉大公式

2004年10月，一條科學(xué)新聞在國內(nèi)的媒體上不脛而走。

原來，英國著名的科學(xué)雜志《物理世界》此前舉行了一場別開生面的評選活動，邀請世界各地的讀者選出自己心目中最偉大、最喜愛的公式、定理或定律。結(jié)果，讓很多人意外的是，1 1=2這個連小學(xué)生都知道的基本數(shù)學(xué)公式不僅入選，而且還高居第一。一個加拿大讀者說出了他的理由：“這個最簡單的公式有著一種妙不可言的美感?！贝舜卧u選活動的主持者則這樣評價到：“一個偉大公式的力量不僅論述了宇宙的基本特性并傳達了標(biāo)志性的信息，而且還在盡力孕育出更多自然界。

無獨有偶，1971年，尼加拉瓜發(fā)行了一套紀念郵票《改變世界面貌的十個數(shù)學(xué)公式》，排在第一。

然而正是這個“1 1=2”。

從無窮小量和運算符號括號"（）"來證明1 1=2.證明如下：

假設(shè)0（這里的0為無窮小量）0=1，

那么(0 0)(0 0)=1 1,

符合加法運算定律(合并同類項和結(jié)合律)，

則有1 1=2。

三段式證明如此。