復(fù)變函數(shù)中，e^(ix)=(cos x isin x)稱為歐拉公式，e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位。

拓?fù)鋵W(xué)中，在任何一個(gè)規(guī)則球面地圖上，用R記區(qū)域個(gè)數(shù)，V記頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，E記邊界個(gè)數(shù)，則R V-E=2，這就是歐拉定理，它于1640年由Descartes首先給出證明，后來Euler(歐拉)于1752年又獨(dú)立地給出證明，我們稱其為歐拉定理，在國外也有人稱其為Descartes定理。

復(fù)變函數(shù)

把復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來的一個(gè)公式，，e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位。它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它不僅出現(xiàn)在數(shù)學(xué)分析里，而且在復(fù)變函數(shù)論里也占有非常重要的地位，更被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”。

拓?fù)鋵W(xué)

拓?fù)鋵W(xué)又稱“連續(xù)幾何學(xué)”。

幾何學(xué)的一門分科。研究幾何圖形經(jīng)過連續(xù)形變后仍能保持的性質(zhì)。包括點(diǎn)集拓?fù)?、代?shù)拓?fù)?、微分拓?fù)涞确种А?/p>

在代數(shù)拓?fù)渲校瑲W拉示性數(shù)（Euler characteristic）是一個(gè)拓?fù)洳蛔兞浚ㄊ聦?shí)上，是同倫不變量），對于一大類拓?fù)淇臻g有定義。它通常記作。

二維拓?fù)涠嗝骟w的歐拉示性數(shù)可以用以下公式計(jì)算：

其中V、E和F分別是點(diǎn)、邊和面的個(gè)數(shù)。 特別的有，對于所有和一個(gè)球面同胚的多面體，我們有

拓?fù)鋵W(xué)中歐拉公式的證明

用數(shù)學(xué)歸納法證明

(1)當(dāng)R=2時(shí)，由說明1,這兩個(gè)區(qū)域可想象為以赤道為邊界的兩個(gè)半球面，赤道上有兩個(gè)“頂點(diǎn)”將赤道分成兩條“邊界”，即 R= 2，V= 2，E= 2；于是 R V- E= 2,歐拉定理成立.。

(2)設(shè)R=m(m≥2)時(shí)歐拉定理成立，下面證明R=m 1時(shí)歐拉定理也成立。

由說明2，我們在R=m 1的地圖上任選一個(gè)區(qū)域X，則X必有與它如此相鄰的區(qū)域Y，使得在去掉X和Y之間的唯一一條邊界后，地圖上只有m個(gè)區(qū)域了；在去掉X和Y之間的邊界后，若原該邊界兩端的頂點(diǎn)現(xiàn)在都還是3條或3條以上邊界的頂點(diǎn)，則該頂點(diǎn)保留，同時(shí)其他的邊界數(shù)不變;若原該邊界一端或兩端的頂點(diǎn)現(xiàn)在成為2條邊界的頂點(diǎn)，則去掉該頂點(diǎn)，該頂點(diǎn)兩邊的兩條邊界便成為一條邊界。于是，在去掉X和Y之間的唯一一條邊界時(shí)只有三種情況：

①減少一個(gè)區(qū)域和一條邊界；

②減少一個(gè)區(qū)域、一個(gè)頂點(diǎn)和兩條邊界；

③減少一個(gè)區(qū)域、兩個(gè)頂點(diǎn)和三條邊界；

即在去掉X和Y之間的邊界時(shí)，不論何種情況都必定有“減少的區(qū)域數(shù) 減少的頂點(diǎn)數(shù)=減少的邊界數(shù)”我們將上述過程反過來(即將X和Y之間去掉的邊界又照原樣畫上)，就又成為R= m 1的地圖了，在這一過程中必然是“增加的區(qū)域數(shù) 增加的頂點(diǎn)數(shù) = 增加的邊界數(shù)”。

因此 ，若 R= m (m≥2)時(shí)歐拉定理成立 ，則 R= m 1時(shí)歐拉定理也成立.。

由(1)和(2)可知，對于任何正整數(shù)R≥2,歐拉定理成立。

柯西的證明

第一個(gè)歐拉公式的嚴(yán)格證明，由20歲的柯西給出，大致如下：

從多面體去掉一面，通過把去掉的面的邊互相拉遠(yuǎn)，把所有剩下的面變成點(diǎn)和曲線的平面網(wǎng)絡(luò)。不失一般性，可以假設(shè)變形的邊繼續(xù)保持為直線段。正常的面不再是正常的多邊形即使開始的時(shí)候它們是正常的。但是，點(diǎn)，邊和面的個(gè)數(shù)保持不變，和給定多面體的一樣(移去的面對應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的外部。)

重復(fù)一系列可以簡化網(wǎng)絡(luò)卻不改變其歐拉數(shù)（也是歐拉示性數(shù)）的額外變換。

若有一個(gè)多邊形面有3條邊以上，我們劃一個(gè)對角線。這增加一條邊和一個(gè)面。繼續(xù)增加邊直到所有面都是三角形。

除掉只有一條邊和外部相鄰的三角形。這把邊和面的個(gè)數(shù)各減一而保持頂點(diǎn)數(shù)不變。

（逐個(gè)）除去所有和網(wǎng)絡(luò)外部共享兩條邊的三角形。這會減少一個(gè)頂點(diǎn)、兩條邊和一個(gè)面。

重復(fù)使用第2步和第3步直到只剩一個(gè)三角形。對于一個(gè)三角形（把外部數(shù)在內(nèi)），。所以。

推理證明

設(shè)想這個(gè)多面體是先有一個(gè)面，然后將其他各面一個(gè)接一個(gè)地添裝上去的.因?yàn)橐还灿蠪個(gè)面，因此要添(F-1)個(gè)面.

考察第Ⅰ個(gè)面，設(shè)它是n邊形，有n個(gè)頂點(diǎn)，n條邊，這時(shí)E=V，即棱數(shù)等于頂點(diǎn)數(shù).

添上第Ⅱ個(gè)面后，因?yàn)橐粭l棱與原來的棱重合，而且有兩個(gè)頂點(diǎn)和第Ⅰ個(gè)面的兩個(gè)頂點(diǎn)重合，所以增加的棱數(shù)比增加的頂點(diǎn)數(shù)多1，因此，這時(shí)E=V 1.

以后每增添一個(gè)面，總是增加的棱數(shù)比增加的頂點(diǎn)數(shù)多1，例如

增添兩個(gè)面后，有關(guān)系E=V 2;

增添三個(gè)面后，有關(guān)系E=V 3;

……

增添(F-2)個(gè)面后，有關(guān)系E=V (F-2).

最后增添一個(gè)面后，就成為多面體，這時(shí)棱數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)都沒有增加.因此，關(guān)系式仍為E=V (F-2).即

F V=E 2.

這個(gè)公式叫做歐拉公式.它表明2這個(gè)數(shù)是簡單多面體表面在連續(xù)變形下不變的數(shù)。

分式

當(dāng)r=0或1時(shí)式子的值為0，當(dāng)r=2時(shí)值為1，當(dāng)r=3時(shí)值為a b c。

平面幾何

設(shè)△ABC的外心為O，內(nèi)心為I，外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，又記外心、內(nèi)心的距離OI為d，則有

（1）式稱為歐拉公式。

為了證明（1）式，我們現(xiàn)將它改成

（2）式左邊是點(diǎn)I對于⊙O的冪：過圓內(nèi)任一點(diǎn)P的弦被P分成兩個(gè)部分，這兩個(gè)部分的乘積是一個(gè)定值，稱為P關(guān)于⊙O的冪。事實(shí)上，如果將OI延長交圓于E、F，那么

因此，設(shè)AI交⊙O于M，則

因此，只需證明

或?qū)懗杀壤?

為了證明（5）式，應(yīng)當(dāng)尋找兩個(gè)相似的三角形。一個(gè)以長IA、r為邊；另一個(gè)以長2R、MI為邊。前一個(gè)不難找，△IDA就是，D是內(nèi)切圓與AC的切點(diǎn)。后一個(gè)也必須是直角三角形，所以一邊是直徑ML，另一個(gè)頂點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)在圓上。△MBL就滿足要求。

容易證明

因此（5）式成立，從而（1）式成立。

因?yàn)?，所以由歐拉公式得出一個(gè)副產(chǎn)品，即

統(tǒng)計(jì)學(xué)

特征函數(shù)用歐拉公式：隨機(jī)變量X的特征函數(shù)定義為

物理學(xué)

眾所周知，生活中處處存在著摩擦力，歐拉測算出了摩擦力與繩索纏繞在樁上圈數(shù)之間的關(guān)系。現(xiàn)將歐拉這個(gè)頗有價(jià)值的公式列在這里：

其中，f表示我們施加的力，F(xiàn)表示與其對抗的力，e為自然對數(shù)的底，k表示繩與樁之間的摩擦系數(shù)，a表示纏繞轉(zhuǎn)角，即繩索纏繞形成的弧長與弧半徑之比。

圖論

設(shè)G為n階m條邊r個(gè)面的連通平面圖，則n-m r=2，此公式稱為歐拉公式?？梢酝ㄟ^歸納法證明，且證明方法和拓?fù)鋵W(xué)中的類似，此處略去。盡管和拓?fù)渲械臍W拉公式十分相似，但圖論在現(xiàn)代一般劃分在離散數(shù)學(xué)的研究范疇內(nèi)，因此在這里單獨(dú)列出。